გადაწყვიტეთ {l}{-3x+8y=-15}{10x+4y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 8 y = - 15 } \\ { 10 x + 4 y = - 12 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{9}{23}\approx -0.391304348$$

$$y = -\frac{93}{46} = -2\frac{1}{46} \approx -2.02173913$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-3x+8y=-15,10x+4y=-12$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-3x+8y=-15$$

გამოაკელით 8y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=-8y-15$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-8y-15\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე -8y-15.

$$x=\frac{8}{3}y+5$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8y}{3}+5-ით x მეორე განტოლებაში, 10x+4y=-12.

$$10\left(\frac{8}{3}y+5\right)+4y=-12$$

გაამრავლეთ 10-ზე \frac{8y}{3}+5.

$$\frac{80}{3}y+50+4y=-12$$

მიუმატეთ \frac{80y}{3} 4y-ს.

$$\frac{92}{3}y+50=-12$$

გამოაკელით 50 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{92}{3}y=-62$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{92}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{93}{46}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{93}{46}-ით y აქ: x=\frac{8}{3}y+5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{8}{3}\left(-\frac{93}{46}\right)+5$$

გაამრავლეთ \frac{8}{3}-ზე -\frac{93}{46} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{124}{23}+5$$

მიუმატეთ 5 -\frac{124}{23}-ს.

$$x=-\frac{9}{23}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{9}{23},y=-\frac{93}{46}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-3x+8y=-15,10x+4y=-12$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-3&8\\10&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-12\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-3&8\\10&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&8\\10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&8\\10&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&8\\10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-12\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&8\\10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-12\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&8\\10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-8\times 10}&-\frac{8}{-3\times 4-8\times 10}\\-\frac{10}{-3\times 4-8\times 10}&-\frac{3}{-3\times 4-8\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}&\frac{2}{23}\\\frac{5}{46}&\frac{3}{92}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-12\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}\left(-15\right)+\frac{2}{23}\left(-12\right)\\\frac{5}{46}\left(-15\right)+\frac{3}{92}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}\\-\frac{93}{46}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{9}{23},y=-\frac{93}{46}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-3x+8y=-15,10x+4y=-12$$

იმისათვის, რომ -3x და 10x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 10-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე.

$$10\left(-3\right)x+10\times 8y=10\left(-15\right),-3\times 10x-3\times 4y=-3\left(-12\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-30x+80y=-150,-30x-12y=36$$

გამოაკელით -30x-12y=36 -30x+80y=-150-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-30x+30x+80y+12y=-150-36$$

მიუმატეთ -30x 30x-ს. პირობები -30x და 30x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$80y+12y=-150-36$$

მიუმატეთ 80y 12y-ს.

$$92y=-150-36$$

მიუმატეთ -150 -36-ს.

$$92y=-186$$

ორივე მხარე გაყავით 92-ზე.

$$y=-\frac{93}{46}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{93}{46}-ით y აქ: 10x+4y=-12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$10x+4\left(-\frac{93}{46}\right)=-12$$

გაამრავლეთ 4-ზე -\frac{93}{46}.

$$10x-\frac{186}{23}=-12$$

მიუმატეთ \frac{186}{23} განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x=-\frac{90}{23}$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$x=-\frac{9}{23}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{9}{23},y=-\frac{93}{46}$$