გადაწყვიტეთ {l}{-3x+15y=59}{3x+4y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 15 y = 59 } \\ { 3 x + 4 y = 17 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-3x+15y=59$$

გამოაკელით 15y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=-15y+59$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-15y+59\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე -15y+59.

$$x=5y-\frac{59}{3}$$

ჩაანაცვლეთ 5y-\frac{59}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+4y=17.

$$3\left(5y-\frac{59}{3}\right)+4y=17$$

გაამრავლეთ 3-ზე 5y-\frac{59}{3}.

$$15y-59+4y=17$$

მიუმატეთ 15y 4y-ს.

$$19y-59=17$$

მიუმატეთ 59 განტოლების ორივე მხარეს.

$$19y=76$$

ორივე მხარე გაყავით 19-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: x=5y-\frac{59}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=5\times 4-\frac{59}{3}$$

გაამრავლეთ 5-ზე 4.

$$x=20-\frac{59}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{59}{3} 20-ს.

$$x=\frac{1}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{15}{-3\times 4-15\times 3}\\-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}&\frac{5}{19}\\\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}\times 59+\frac{5}{19}\times 17\\\frac{1}{19}\times 59+\frac{1}{19}\times 17\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

იმისათვის, რომ -3x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე.

$$3\left(-3\right)x+3\times 15y=3\times 59,-3\times 3x-3\times 4y=-3\times 17$$

გაამარტივეთ.

$$-9x+45y=177,-9x-12y=-51$$

გამოაკელით -9x-12y=-51 -9x+45y=177-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-9x+9x+45y+12y=177+51$$

მიუმატეთ -9x 9x-ს. პირობები -9x და 9x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$45y+12y=177+51$$

მიუმატეთ 45y 12y-ს.

$$57y=177+51$$

მიუმატეთ 177 51-ს.

$$57y=228$$

ორივე მხარე გაყავით 57-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: 3x+4y=17. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+4\times 4=17$$

გაამრავლეთ 4-ზე 4.

$$3x+16=17$$

გამოაკელით 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$