გადაწყვიტეთ {l}{-2x+3y=1}{3x+-4y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 1 } \\ { 3 x + - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-2x+3y=1,3x-4y=-1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-2x+3y=1$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=-3y+1$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -3y+1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y-1}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-4y=-1.

$$3\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)-4y=-1$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{3y-1}{2}.

$$\frac{9}{2}y-\frac{3}{2}-4y=-1$$

მიუმატეთ \frac{9y}{2} -4y-ს.

$$\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}=-1$$

მიუმატეთ \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3-1}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{2} \frac{3}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-2x+3y=1,3x-4y=-1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-2\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{-2\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{-2\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4+3\left(-1\right)\\3+2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-2x+3y=1,3x-4y=-1$$

იმისათვის, რომ -2x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე.

$$3\left(-2\right)x+3\times 3y=3,-2\times 3x-2\left(-4\right)y=-2\left(-1\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-6x+9y=3,-6x+8y=2$$

გამოაკელით -6x+8y=2 -6x+9y=3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-6x+6x+9y-8y=3-2$$

მიუმატეთ -6x 6x-ს. პირობები -6x და 6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$9y-8y=3-2$$

მიუმატეთ 9y -8y-ს.

$$y=3-2$$

მიუმატეთ 3 -2-ს.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: 3x-4y=-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-4=-1$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=1$$