გადაწყვიტეთ {l}{-15B-3A=-14}{-5A+B=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 B - 3 A = - 14 } \\ { - 5 A + B = 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა B, A-ისთვის

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი B-ისთვის, B-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-15B-3A=-14$$

მიუმატეთ 3A განტოლების ორივე მხარეს.

$$-15B=3A-14$$

ორივე მხარე გაყავით -15-ზე.

$$B=-\frac{1}{15}\left(3A-14\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{15}-ზე 3A-14.

$$B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{A}{5}+\frac{14}{15}-ით B მეორე განტოლებაში, B-5A=7.

$$-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}-5A=7$$

მიუმატეთ -\frac{A}{5} -5A-ს.

$$-\frac{26}{5}A+\frac{14}{15}=7$$

გამოაკელით \frac{14}{15} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{26}{5}A=\frac{91}{15}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{26}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$A=-\frac{7}{6}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7}{6}-ით A აქ: B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ B.

$$B=-\frac{1}{5}\left(-\frac{7}{6}\right)+\frac{14}{15}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{5}-ზე -\frac{7}{6} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$B=\frac{7}{30}+\frac{14}{15}$$

მიუმატეთ \frac{14}{15} \frac{7}{30}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$B=\frac{7}{6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&\frac{1}{26}\\-\frac{1}{78}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\left(-14\right)+\frac{1}{26}\times 7\\-\frac{1}{78}\left(-14\right)-\frac{5}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{6}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - B და A.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

იმისათვის, რომ -15B და B ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -15-ზე.

$$-15B-3A=-14,-15B-15\left(-5\right)A=-15\times 7$$

გაამარტივეთ.

$$-15B-3A=-14,-15B+75A=-105$$

გამოაკელით -15B+75A=-105 -15B-3A=-14-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-15B+15B-3A-75A=-14+105$$

მიუმატეთ -15B 15B-ს. პირობები -15B და 15B გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3A-75A=-14+105$$

მიუმატეთ -3A -75A-ს.

$$-78A=-14+105$$

მიუმატეთ -14 105-ს.

$$-78A=91$$

ორივე მხარე გაყავით -78-ზე.

$$A=-\frac{7}{6}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7}{6}-ით A აქ: B-5A=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ B.

$$B-5\left(-\frac{7}{6}\right)=7$$

გაამრავლეთ -5-ზე -\frac{7}{6}.

$$B+\frac{35}{6}=7$$

გამოაკელით \frac{35}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$B=\frac{7}{6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$