გადაწყვიტეთ {l}{-0.5x+0.1y=350}{0.4x+0.2y=0}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.5 x + 0.1 y = 350 } \\ { 0.4 x + 0.2 y = 0 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-500$$

$$y=1000$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-0.5x+0.1y=350$$

გამოაკელით \frac{y}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-0.5x=-0.1y+350$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -2-ზე.

$$x=-2\left(-0.1y+350\right)$$

გაამრავლეთ -2-ზე -\frac{y}{10}+350.

$$x=0.2y-700$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y}{5}-700-ით x მეორე განტოლებაში, 0.4x+0.2y=0.

$$0.4\left(0.2y-700\right)+0.2y=0$$

გაამრავლეთ 0.4-ზე \frac{y}{5}-700.

$$0.08y-280+0.2y=0$$

მიუმატეთ \frac{2y}{25} \frac{y}{5}-ს.

$$0.28y-280=0$$

მიუმატეთ 280 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.28y=280$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.28-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=1000$$

ჩაანაცვლეთ 1000-ით y აქ: x=0.2y-700. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=0.2\times 1000-700$$

გაამრავლეთ 0.2-ზე 1000.

$$x=200-700$$

მიუმატეთ -700 200-ს.

$$x=-500$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-500,y=1000$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.1}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\\-\frac{0.4}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.5}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{20}{7}&\frac{25}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\times 350\\\frac{20}{7}\times 350\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\1000\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-500,y=1000$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

იმისათვის, რომ -\frac{x}{2} და \frac{2x}{5} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 0.4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -0.5-ზე.

$$0.4\left(-0.5\right)x+0.4\times 0.1y=0.4\times 350,-0.5\times 0.4x-0.5\times 0.2y=0$$

გაამარტივეთ.

$$-0.2x+0.04y=140,-0.2x-0.1y=0$$

გამოაკელით -0.2x-0.1y=0 -0.2x+0.04y=140-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-0.2x+0.2x+0.04y+0.1y=140$$

მიუმატეთ -\frac{x}{5} \frac{x}{5}-ს. პირობები -\frac{x}{5} და \frac{x}{5} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$0.04y+0.1y=140$$

მიუმატეთ \frac{y}{25} \frac{y}{10}-ს.

$$0.14y=140$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.14-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=1000$$

ჩაანაცვლეთ 1000-ით y აქ: 0.4x+0.2y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$0.4x+0.2\times 1000=0$$

გაამრავლეთ 0.2-ზე 1000.

$$0.4x+200=0$$

გამოაკელით 200 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.4x=-200$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.4-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-500$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-500,y=1000$$