გადაწყვიტეთ {l}{-0.1x-0.7y-610=0}{-0.8x+0.5y+920=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.1 x - 0.7 y - 610 = 0 } \\ { - 0.8 x + 0.5 y + 920 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{33900}{61} = 555\frac{45}{61} \approx 555.737704918$$

$$y = -\frac{58000}{61} = -950\frac{50}{61} \approx -950.819672131$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-0.1x-0.7y-610=0$$

მიუმატეთ 610 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-0.1x-0.7y=610$$

მიუმატეთ \frac{7y}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-0.1x=0.7y+610$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -10-ზე.

$$x=-10\left(0.7y+610\right)$$

გაამრავლეთ -10-ზე \frac{7y}{10}+610.

$$x=-7y-6100$$

ჩაანაცვლეთ -7y-6100-ით x მეორე განტოლებაში, -0.8x+0.5y+920=0.

$$-0.8\left(-7y-6100\right)+0.5y+920=0$$

გაამრავლეთ -0.8-ზე -7y-6100.

$$5.6y+4880+0.5y+920=0$$

მიუმატეთ \frac{28y}{5} \frac{y}{2}-ს.

$$6.1y+4880+920=0$$

მიუმატეთ 4880 920-ს.

$$6.1y+5800=0$$

გამოაკელით 5800 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6.1y=-5800$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 6.1-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{58000}{61}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{58000}{61}-ით y აქ: x=-7y-6100. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-7\left(-\frac{58000}{61}\right)-6100$$

გაამრავლეთ -7-ზე -\frac{58000}{61}.

$$x=\frac{406000}{61}-6100$$

მიუმატეთ -6100 \frac{406000}{61}-ს.

$$x=\frac{33900}{61}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.5}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}&-\frac{-0.7}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}\\-\frac{-0.8}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}&-\frac{0.1}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{61}&-\frac{70}{61}\\-\frac{80}{61}&\frac{10}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{61}\times 610-\frac{70}{61}\left(-920\right)\\-\frac{80}{61}\times 610+\frac{10}{61}\left(-920\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33900}{61}\\-\frac{58000}{61}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

იმისათვის, რომ -\frac{x}{10} და -\frac{4x}{5} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -0.8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -0.1-ზე.

$$-0.8\left(-0.1\right)x-0.8\left(-0.7\right)y-0.8\left(-610\right)=0,-0.1\left(-0.8\right)x-0.1\times 0.5y-0.1\times 920=0$$

გაამარტივეთ.

$$0.08x+0.56y+488=0,0.08x-0.05y-92=0$$

გამოაკელით 0.08x-0.05y-92=0 0.08x+0.56y+488=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$0.08x-0.08x+0.56y+0.05y+488+92=0$$

მიუმატეთ \frac{2x}{25} -\frac{2x}{25}-ს. პირობები \frac{2x}{25} და -\frac{2x}{25} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$0.56y+0.05y+488+92=0$$

მიუმატეთ \frac{14y}{25} \frac{y}{20}-ს.

$$0.61y+488+92=0$$

მიუმატეთ 488 92-ს.

$$0.61y+580=0$$

გამოაკელით 580 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.61y=-580$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.61-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{58000}{61}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{58000}{61}-ით y აქ: -0.8x+0.5y+920=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-0.8x+0.5\left(-\frac{58000}{61}\right)+920=0$$

გაამრავლეთ 0.5-ზე -\frac{58000}{61} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$-0.8x-\frac{29000}{61}+920=0$$

მიუმატეთ -\frac{29000}{61} 920-ს.

$$-0.8x+\frac{27120}{61}=0$$

გამოაკელით \frac{27120}{61} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-0.8x=-\frac{27120}{61}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -0.8-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{33900}{61}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$