გადაწყვიტეთ {l}{(A+B)3-B=6}{(2A+B)3^2-B=42}

$$\left. \begin{array} { l } { ( A + B ) 3 - B = 6 } \\ { ( 2 A + B ) 3 ^ { 2 } - B = 42 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა A, B-ისთვის

$$A=3$$

$$B = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ A+B 3-ზე.

$$3A+3B-B=6$$

დააჯგუფეთ 3B და -B, რათა მიიღოთ 2B.

$$3A+2B=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოთვალეთ2-ის 3 ხარისხი და მიიღეთ 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2A+B 9-ზე.

$$18A+9B-B=42$$

დააჯგუფეთ 9B და -B, რათა მიიღოთ 8B.

$$18A+8B=42$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი A-ისთვის, A-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3A+2B=6$$

გამოაკელით 2B განტოლების ორივე მხარეს.

$$3A=-2B+6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$A=\frac{1}{3}\left(-2B+6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -2B+6.

$$A=-\frac{2}{3}B+2$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2B}{3}+2-ით A მეორე განტოლებაში, 18A+8B=42.

$$18\left(-\frac{2}{3}B+2\right)+8B=42$$

გაამრავლეთ 18-ზე -\frac{2B}{3}+2.

$$-12B+36+8B=42$$

მიუმატეთ -12B 8B-ს.

$$-4B+36=42$$

გამოაკელით 36 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4B=6$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$B=-\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{2}-ით B აქ: A=-\frac{2}{3}B+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ A.

$$A=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{3}-ზე -\frac{3}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$A=1+2$$

მიუმატეთ 2 1-ს.

$$A=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ A+B 3-ზე.

$$3A+3B-B=6$$

დააჯგუფეთ 3B და -B, რათა მიიღოთ 2B.

$$3A+2B=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოთვალეთ2-ის 3 ხარისხი და მიიღეთ 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2A+B 9-ზე.

$$18A+9B-B=42$$

დააჯგუფეთ 9B და -B, რათა მიიღოთ 8B.

$$18A+8B=42$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2\times 18}&-\frac{2}{3\times 8-2\times 18}\\-\frac{18}{3\times 8-2\times 18}&\frac{3}{3\times 8-2\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{6}\times 42\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 42\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - A და B.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ A+B 3-ზე.

$$3A+3B-B=6$$

დააჯგუფეთ 3B და -B, რათა მიიღოთ 2B.

$$3A+2B=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოთვალეთ2-ის 3 ხარისხი და მიიღეთ 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2A+B 9-ზე.

$$18A+9B-B=42$$

დააჯგუფეთ 9B და -B, რათა მიიღოთ 8B.

$$18A+8B=42$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

იმისათვის, რომ 3A და 18A ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 18-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$18\times 3A+18\times 2B=18\times 6,3\times 18A+3\times 8B=3\times 42$$

გაამარტივეთ.

$$54A+36B=108,54A+24B=126$$

გამოაკელით 54A+24B=126 54A+36B=108-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$54A-54A+36B-24B=108-126$$

მიუმატეთ 54A -54A-ს. პირობები 54A და -54A გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$36B-24B=108-126$$

მიუმატეთ 36B -24B-ს.

$$12B=108-126$$

მიუმატეთ 108 -126-ს.

$$12B=-18$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$B=-\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{2}-ით B აქ: 18A+8B=42. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ A.

$$18A+8\left(-\frac{3}{2}\right)=42$$

გაამრავლეთ 8-ზე -\frac{3}{2}.

$$18A-12=42$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$18A=54$$

ორივე მხარე გაყავით 18-ზე.

$$A=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$