ამოხსნა y, z-ისთვის
y=18
z=-3
გაზიარება
კოპირებულია ბუფერში
y+2z=4\times 3
განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.
y+2z=12
გადაამრავლეთ 4 და 3, რათა მიიღოთ 12.
5y+2\times 7z=48
განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 6,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.
5y+14z=48
გადაამრავლეთ 2 და 7, რათა მიიღოთ 14.
y+2z=12,5y+14z=48
განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.
y+2z=12
აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.
y=-2z+12
გამოაკელით 2z განტოლების ორივე მხარეს.
5\left(-2z+12\right)+14z=48
ჩაანაცვლეთ -2z+12-ით y მეორე განტოლებაში, 5y+14z=48.
-10z+60+14z=48
გაამრავლეთ 5-ზე -2z+12.
4z+60=48
მიუმატეთ -10z 14z-ს.
4z=-12
გამოაკელით 60 განტოლების ორივე მხარეს.
z=-3
ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.
y=-2\left(-3\right)+12
ჩაანაცვლეთ -3-ით z აქ: y=-2z+12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.
y=6+12
გაამრავლეთ -2-ზე -3.
y=18
მიუმატეთ 12 6-ს.
y=18,z=-3
სისტემა ახლა ამოხსნილია.
y+2z=4\times 3
განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.
y+2z=12
გადაამრავლეთ 4 და 3, რათა მიიღოთ 12.
5y+2\times 7z=48
განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 6,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.
5y+14z=48
გადაამრავლეთ 2 და 7, რათა მიიღოთ 14.
y+2z=12,5y+14z=48
გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.
\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)
ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.
inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)
მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)
მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.
\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)
ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.
\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)
2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.
\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)
შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.
\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)
გადაამრავლეთ მატრიცები.
\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)
შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.
y=18,z=-3
ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და z.
y+2z=4\times 3
განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.
y+2z=12
გადაამრავლეთ 4 და 3, რათა მიიღოთ 12.
5y+2\times 7z=48
განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 6,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.
5y+14z=48
გადაამრავლეთ 2 და 7, რათა მიიღოთ 14.
y+2z=12,5y+14z=48
გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.
5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48
იმისათვის, რომ y და 5y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.
5y+10z=60,5y+14z=48
გაამარტივეთ.
5y-5y+10z-14z=60-48
გამოაკელით 5y+14z=48 5y+10z=60-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.
10z-14z=60-48
მიუმატეთ 5y -5y-ს. პირობები 5y და -5y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.
-4z=60-48
მიუმატეთ 10z -14z-ს.
-4z=12
მიუმატეთ 60 -48-ს.
z=-3
ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.
5y+14\left(-3\right)=48
ჩაანაცვლეთ -3-ით z აქ: 5y+14z=48. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.
5y-42=48
გაამრავლეთ 14-ზე -3.
5y=90
მიუმატეთ 42 განტოლების ორივე მხარეს.
y=18
ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.
y=18,z=-3
სისტემა ახლა ამოხსნილია.
მაგალითები
კვადრატული განტოლება
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
ტრიგონომეტრია
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
ხაზოვანი განტოლება
y = 3x + 4
არითმეტიკა
699 * 533
მატრიცა
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
სინქრონული განტოლება
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
დიფერენცირება
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
ინტეგრაცია
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
ლიმიტები
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}