გადაწყვიტეთ {l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, z-ისთვის

$$y=18$$

$$z=-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$y+2z=4\times 3$$

გადაამრავლეთ 4 და 3, რათა მიიღოთ 12.

$$y+2z=12$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 6,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5y+2\times 7z=48$$

გადაამრავლეთ 2 და 7, რათა მიიღოთ 14.

$$5y+14z=48$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y+2z=12$$

გამოაკელით 2z განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-2z+12$$

ჩაანაცვლეთ -2z+12-ით y მეორე განტოლებაში, 5y+14z=48.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

გაამრავლეთ 5-ზე -2z+12.

$$-10z+60+14z=48$$

მიუმატეთ -10z 14z-ს.

$$4z+60=48$$

გამოაკელით 60 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4z=-12$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$z=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით z აქ: y=-2z+12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

გაამრავლეთ -2-ზე -3.

$$y=6+12$$

მიუმატეთ 12 6-ს.

$$y=18$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=18,z=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$y+2z=4\times 3$$

გადაამრავლეთ 4 და 3, რათა მიიღოთ 12.

$$y+2z=12$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 6,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5y+2\times 7z=48$$

გადაამრავლეთ 2 და 7, რათა მიიღოთ 14.

$$5y+14z=48$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და z.

$$y=18,z=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$y+2z=4\times 3$$

გადაამრავლეთ 4 და 3, რათა მიიღოთ 12.

$$y+2z=12$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 6,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5y+2\times 7z=48$$

გადაამრავლეთ 2 და 7, რათა მიიღოთ 14.

$$5y+14z=48$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

იმისათვის, რომ y და 5y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

გაამარტივეთ.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

გამოაკელით 5y+14z=48 5y+10z=60-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

მიუმატეთ 5y -5y-ს. პირობები 5y და -5y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$10z-14z=60-48$$

მიუმატეთ 10z -14z-ს.

$$-4z=60-48$$

მიუმატეთ 60 -48-ს.

$$-4z=12$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$z=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით z აქ: 5y+14z=48. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

გაამრავლეთ 14-ზე -3.

$$5y-42=48$$

მიუმატეთ 42 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5y=90$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=18$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=18,z=-3$$