გადაწყვიტეთ {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=4$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი x არ შეიძლება იყოს \frac{4}{3}-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 2\left(3x-4\right)-ზე, 3x-4,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y+1-ზე.

$$2y+2=3x-4$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$2y+2-3x=-4$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$2y-3x=-4-2$$

გამოაკელით 2 -4-ს -6-ის მისაღებად.

$$2y-3x=-6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი x არ შეიძლება იყოს -\frac{11}{3}-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3x+11-ზე.

$$5x+y=3x+11$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$5x+y-3x=11$$

დააჯგუფეთ 5x და -3x, რათა მიიღოთ 2x.

$$2x+y=11$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2y-3x=-6$$

მიუმატეთ 3x განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=3x-6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3x}{2}-3-ით y მეორე განტოლებაში, y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

მიუმატეთ \frac{3x}{2} 2x-ს.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{7}{2}x=14$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{7}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით x აქ: y=\frac{3}{2}x-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე 4.

$$y=6-3$$

მიუმატეთ -3 6-ს.

$$y=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=3,x=4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი x არ შეიძლება იყოს \frac{4}{3}-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 2\left(3x-4\right)-ზე, 3x-4,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y+1-ზე.

$$2y+2=3x-4$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$2y+2-3x=-4$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$2y-3x=-4-2$$

გამოაკელით 2 -4-ს -6-ის მისაღებად.

$$2y-3x=-6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი x არ შეიძლება იყოს -\frac{11}{3}-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3x+11-ზე.

$$5x+y=3x+11$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$5x+y-3x=11$$

დააჯგუფეთ 5x და -3x, რათა მიიღოთ 2x.

$$2x+y=11$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=3,x=4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი x არ შეიძლება იყოს \frac{4}{3}-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 2\left(3x-4\right)-ზე, 3x-4,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y+1-ზე.

$$2y+2=3x-4$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$2y+2-3x=-4$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$2y-3x=-4-2$$

გამოაკელით 2 -4-ს -6-ის მისაღებად.

$$2y-3x=-6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი x არ შეიძლება იყოს -\frac{11}{3}-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3x+11-ზე.

$$5x+y=3x+11$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$5x+y-3x=11$$

დააჯგუფეთ 5x და -3x, რათა მიიღოთ 2x.

$$2x+y=11$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

იმისათვის, რომ 2y და y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

გაამარტივეთ.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

გამოაკელით 2y+4x=22 2y-3x=-6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

მიუმატეთ 2y -2y-ს. პირობები 2y და -2y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3x-4x=-6-22$$

მიუმატეთ -3x -4x-ს.

$$-7x=-6-22$$

მიუმატეთ -6 -22-ს.

$$-7x=-28$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$x=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით x აქ: y+2x=11. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y+2\times 4=11$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$y+8=11$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=3,x=4$$