გადაწყვიტეთ {l}{x/92+y=58}{x-y/79=57}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 92 } + y = 58 } \\ { x - \frac { y } { 79 } = 57 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{419612}{7269} = 57\frac{5279}{7269} \approx 57.726234695$$

$$y = \frac{417041}{7269} = 57\frac{2708}{7269} \approx 57.372540927$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 92-ზე.

$$x+92y=5336$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 79-ზე.

$$79x-y=4503$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+92y=5336$$

გამოაკელით 92y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-92y+5336$$

ჩაანაცვლეთ -92y+5336-ით x მეორე განტოლებაში, 79x-y=4503.

$$79\left(-92y+5336\right)-y=4503$$

გაამრავლეთ 79-ზე -92y+5336.

$$-7268y+421544-y=4503$$

მიუმატეთ -7268y -y-ს.

$$-7269y+421544=4503$$

გამოაკელით 421544 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7269y=-417041$$

ორივე მხარე გაყავით -7269-ზე.

$$y=\frac{417041}{7269}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{417041}{7269}-ით y აქ: x=-92y+5336. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-92\times \frac{417041}{7269}+5336$$

გაამრავლეთ -92-ზე \frac{417041}{7269}.

$$x=-\frac{38367772}{7269}+5336$$

მიუმატეთ 5336 -\frac{38367772}{7269}-ს.

$$x=\frac{419612}{7269}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 92-ზე.

$$x+92y=5336$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 79-ზე.

$$79x-y=4503$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-92\times 79}&-\frac{92}{-1-92\times 79}\\-\frac{79}{-1-92\times 79}&\frac{1}{-1-92\times 79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}&\frac{92}{7269}\\\frac{79}{7269}&-\frac{1}{7269}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}\times 5336+\frac{92}{7269}\times 4503\\\frac{79}{7269}\times 5336-\frac{1}{7269}\times 4503\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{419612}{7269}\\\frac{417041}{7269}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 92-ზე.

$$x+92y=5336$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 79-ზე.

$$79x-y=4503$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

იმისათვის, რომ x და 79x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 79-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$79x+79\times 92y=79\times 5336,79x-y=4503$$

გაამარტივეთ.

$$79x+7268y=421544,79x-y=4503$$

გამოაკელით 79x-y=4503 79x+7268y=421544-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$79x-79x+7268y+y=421544-4503$$

მიუმატეთ 79x -79x-ს. პირობები 79x და -79x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$7268y+y=421544-4503$$

მიუმატეთ 7268y y-ს.

$$7269y=421544-4503$$

მიუმატეთ 421544 -4503-ს.

$$7269y=417041$$

ორივე მხარე გაყავით 7269-ზე.

$$y=\frac{417041}{7269}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{417041}{7269}-ით y აქ: 79x-y=4503. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$79x-\frac{417041}{7269}=4503$$

მიუმატეთ \frac{417041}{7269} განტოლების ორივე მხარეს.

$$79x=\frac{33149348}{7269}$$

ორივე მხარე გაყავით 79-ზე.

$$x=\frac{419612}{7269}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$