გადაწყვიტეთ {l}{x/47+y=86}{x+y/25=49}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 47 } + y = 86 } \\ { x + \frac { y } { 25 } = 49 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{53533}{1174} = 45\frac{703}{1174} \approx 45.598807496$$

$$y = \frac{99825}{1174} = 85\frac{35}{1174} \approx 85.029812606$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$\frac{1}{47}x+y=86$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{47}x=-y+86$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 47-ზე.

$$x=47\left(-y+86\right)$$

გაამრავლეთ 47-ზე -y+86.

$$x=-47y+4042$$

ჩაანაცვლეთ -47y+4042-ით x მეორე განტოლებაში, x+\frac{1}{25}y=49.

$$-47y+4042+\frac{1}{25}y=49$$

მიუმატეთ -47y \frac{y}{25}-ს.

$$-\frac{1174}{25}y+4042=49$$

გამოაკელით 4042 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1174}{25}y=-3993$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{1174}{25}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{99825}{1174}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{99825}{1174}-ით y აქ: x=-47y+4042. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-47\times \frac{99825}{1174}+4042$$

გაამრავლეთ -47-ზე \frac{99825}{1174}.

$$x=-\frac{4691775}{1174}+4042$$

მიუმატეთ 4042 -\frac{4691775}{1174}-ს.

$$x=\frac{53533}{1174}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&\frac{\frac{1}{47}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}&\frac{1175}{1174}\\\frac{1175}{1174}&-\frac{25}{1174}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}\times 86+\frac{1175}{1174}\times 49\\\frac{1175}{1174}\times 86-\frac{25}{1174}\times 49\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53533}{1174}\\\frac{99825}{1174}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

იმისათვის, რომ \frac{x}{47} და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{47}-ზე.

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}y=\frac{1}{47}\times 49$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47}$$

გამოაკელით \frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47} \frac{1}{47}x+y=86-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{1}{47}x-\frac{1}{47}x+y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

მიუმატეთ \frac{x}{47} -\frac{x}{47}-ს. პირობები \frac{x}{47} და -\frac{x}{47} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

მიუმატეთ y -\frac{y}{1175}-ს.

$$\frac{1174}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

მიუმატეთ 86 -\frac{49}{47}-ს.

$$\frac{1174}{1175}y=\frac{3993}{47}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{1174}{1175}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{99825}{1174}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{99825}{1174}-ით y აქ: x+\frac{1}{25}y=49. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+\frac{1}{25}\times \frac{99825}{1174}=49$$

გაამრავლეთ \frac{1}{25}-ზე \frac{99825}{1174} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x+\frac{3993}{1174}=49$$

გამოაკელით \frac{3993}{1174} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{53533}{1174}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$