გადაწყვიტეთ {l}{x/36-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 36 } - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{10764}{719} = 14\frac{698}{719} \approx 14.970792768$$

$$y = -\frac{14800}{719} = -20\frac{420}{719} \approx -20.584144645$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 36-ზე.

$$x-36y=756$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 20-ზე.

$$20x-y=320$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-36y=756$$

მიუმატეთ 36y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=36y+756$$

ჩაანაცვლეთ 756+36y-ით x მეორე განტოლებაში, 20x-y=320.

$$20\left(36y+756\right)-y=320$$

გაამრავლეთ 20-ზე 756+36y.

$$720y+15120-y=320$$

მიუმატეთ 720y -y-ს.

$$719y+15120=320$$

გამოაკელით 15120 განტოლების ორივე მხარეს.

$$719y=-14800$$

ორივე მხარე გაყავით 719-ზე.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{14800}{719}-ით y აქ: x=36y+756. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=36\left(-\frac{14800}{719}\right)+756$$

გაამრავლეთ 36-ზე -\frac{14800}{719}.

$$x=-\frac{532800}{719}+756$$

მიუმატეთ 756 -\frac{532800}{719}-ს.

$$x=\frac{10764}{719}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 36-ზე.

$$x-36y=756$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 20-ზე.

$$20x-y=320$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}&-\frac{-36}{-1-\left(-36\times 20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-36\times 20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}&\frac{36}{719}\\-\frac{20}{719}&\frac{1}{719}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}\times 756+\frac{36}{719}\times 320\\-\frac{20}{719}\times 756+\frac{1}{719}\times 320\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10764}{719}\\-\frac{14800}{719}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 36-ზე.

$$x-36y=756$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 20-ზე.

$$20x-y=320$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

იმისათვის, რომ x და 20x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 20-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$20x+20\left(-36\right)y=20\times 756,20x-y=320$$

გაამარტივეთ.

$$20x-720y=15120,20x-y=320$$

გამოაკელით 20x-y=320 20x-720y=15120-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$20x-20x-720y+y=15120-320$$

მიუმატეთ 20x -20x-ს. პირობები 20x და -20x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-720y+y=15120-320$$

მიუმატეთ -720y y-ს.

$$-719y=15120-320$$

მიუმატეთ 15120 -320-ს.

$$-719y=14800$$

ორივე მხარე გაყავით -719-ზე.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{14800}{719}-ით y აქ: 20x-y=320. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$20x-\left(-\frac{14800}{719}\right)=320$$

გამოაკელით \frac{14800}{719} განტოლების ორივე მხარეს.

$$20x=\frac{215280}{719}$$

ორივე მხარე გაყავით 20-ზე.

$$x=\frac{10764}{719}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$