გადაწყვიტეთ {l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=12$$

$$y=15$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე, 3,5-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5x+3y=105$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 30-ზე, 6,5-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5x-6\times 2y=-120$$

გადაამრავლეთ -6 და 2, რათა მიიღოთ -12.

$$5x-12y=-120$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+3y=105$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-3y+105$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -3y+105.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{5}+21-ით x მეორე განტოლებაში, 5x-12y=-120.

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

გაამრავლეთ 5-ზე -\frac{3y}{5}+21.

$$-3y+105-12y=-120$$

მიუმატეთ -3y -12y-ს.

$$-15y+105=-120$$

გამოაკელით 105 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-15y=-225$$

ორივე მხარე გაყავით -15-ზე.

$$y=15$$

ჩაანაცვლეთ 15-ით y აქ: x=-\frac{3}{5}y+21. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{5}-ზე 15.

$$x=-9+21$$

მიუმატეთ 21 -9-ს.

$$x=12$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=12,y=15$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე, 3,5-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5x+3y=105$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 30-ზე, 6,5-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5x-6\times 2y=-120$$

გადაამრავლეთ -6 და 2, რათა მიიღოთ -12.

$$5x-12y=-120$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=12,y=15$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე, 3,5-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5x+3y=105$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 30-ზე, 6,5-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5x-6\times 2y=-120$$

გადაამრავლეთ -6 და 2, რათა მიიღოთ -12.

$$5x-12y=-120$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

გამოაკელით 5x-12y=-120 5x+3y=105-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

მიუმატეთ 5x -5x-ს. პირობები 5x და -5x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3y+12y=105+120$$

მიუმატეთ 3y 12y-ს.

$$15y=105+120$$

მიუმატეთ 105 120-ს.

$$15y=225$$

ორივე მხარე გაყავით 15-ზე.

$$y=15$$

ჩაანაცვლეთ 15-ით y აქ: 5x-12y=-120. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x-12\times 15=-120$$

გაამრავლეთ -12-ზე 15.

$$5x-180=-120$$

მიუმატეთ 180 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=60$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=12$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=12,y=15$$