გადაწყვიტეთ {l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

ეტაპები ჩანაცვლების და კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 36-ზე, 9,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

ამოხსენით 3x+4y=1 x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+4y=1$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-4y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 9y^{2}+4x^{2}=36.

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

მიუმატეთ 9y^{2} \frac{64}{9}y^{2}-ს.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

გამოაკელით 36 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-ით a, 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2-ით b და -\frac{320}{9}-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

გაამრავლეთ -\frac{580}{9}-ზე -\frac{320}{9} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

მიუმატეთ \frac{1024}{81} \frac{185600}{81}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

აიღეთ 2304-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2-ის საპირისპიროა \frac{32}{9}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ \frac{32}{9} 48-ს.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

გაყავით \frac{464}{9} \frac{290}{9}-ზე \frac{464}{9}-ის გამრავლებით \frac{290}{9}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{8}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 48 \frac{32}{9}-ს.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

გაყავით -\frac{400}{9} \frac{290}{9}-ზე -\frac{400}{9}-ის გამრავლებით \frac{290}{9}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{40}{29}$$

არსებობს y-ის ორი ამონახსნი: \frac{8}{5} და -\frac{40}{29}. ჩაანაცვლეთ \frac{8}{5}-ით y განტოლებაში x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}, რათა იპოვოთ x-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{4}{3}-ზე \frac{8}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} \frac{1}{3}-ს.

$$x=-\frac{9}{5}$$

ახლა ჩაანაცვლეთ -\frac{40}{29}-ით y განტოლებაში x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} და ამოხსენით, რათა იპოვოთ x-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{4}{3}-ზე -\frac{40}{29} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) \frac{1}{3}-ს.

$$x=\frac{63}{29}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$