გადაწყვიტეთ {l}{x^2/4+y^2/3=1}{x=my-1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { x = m y - 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{2\left(3m\sqrt{m^{2}+1}+2\right)}{3m^{2}+4}\text{, }y=\frac{3\left(-2\sqrt{m^{2}+1}+m\right)}{3m^{2}+4}$$

$$x=\frac{2\left(3m\sqrt{m^{2}+1}-2\right)}{3m^{2}+4}\text{, }y=\frac{3\left(2\sqrt{m^{2}+1}+m\right)}{3m^{2}+4}$$

ეტაპები ჩანაცვლების და კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 4,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით my ორივე მხარეს.

$$x-my=-1$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+\left(-m\right)y=-1,4y^{2}+3x^{2}=12$$

ამოხსენით x+\left(-m\right)y=-1 x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+\left(-m\right)y=-1$$

გამოაკელით \left(-m\right)y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=my-1$$

ჩაანაცვლეთ my-1-ით x მეორე განტოლებაში, 4y^{2}+3x^{2}=12.

$$4y^{2}+3\left(my-1\right)^{2}=12$$

აიყვანეთ კვადრატში my-1.

$$4y^{2}+3\left(m^{2}y^{2}+\left(-2m\right)y+1\right)=12$$

გაამრავლეთ 3-ზე m^{2}y^{2}+\left(-2m\right)y+1.

$$4y^{2}+3m^{2}y^{2}+\left(-6m\right)y+3=12$$

მიუმატეთ 4y^{2} 3m^{2}y^{2}-ს.

$$\left(3m^{2}+4\right)y^{2}+\left(-6m\right)y+3=12$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(3m^{2}+4\right)y^{2}+\left(-6m\right)y-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4+3m^{2}-ით a, 3\left(-1\right)\times 2m-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-6m\right)±\sqrt{\left(-6m\right)^{2}-4\left(3m^{2}+4\right)\left(-9\right)}}{2\left(3m^{2}+4\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3\left(-1\right)\times 2m.

$$y=\frac{-\left(-6m\right)±\sqrt{36m^{2}-4\left(3m^{2}+4\right)\left(-9\right)}}{2\left(3m^{2}+4\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4+3m^{2}.

$$y=\frac{-\left(-6m\right)±\sqrt{36m^{2}+\left(-12m^{2}-16\right)\left(-9\right)}}{2\left(3m^{2}+4\right)}$$

გაამრავლეთ -16-12m^{2}-ზე -9.

$$y=\frac{-\left(-6m\right)±\sqrt{36m^{2}+108m^{2}+144}}{2\left(3m^{2}+4\right)}$$

მიუმატეთ 36m^{2} 144+108m^{2}-ს.

$$y=\frac{-\left(-6m\right)±\sqrt{144m^{2}+144}}{2\left(3m^{2}+4\right)}$$

აიღეთ 144+144m^{2}-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-\left(-6m\right)±12\sqrt{m^{2}+1}}{2\left(3m^{2}+4\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4+3m^{2}.

$$y=\frac{6m±12\sqrt{m^{2}+1}}{6m^{2}+8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{6m±12\sqrt{m^{2}+1}}{6m^{2}+8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 6m 12\sqrt{1+m^{2}}-ს.

$$y=\frac{12\sqrt{m^{2}+1}+6m}{6m^{2}+8}$$

გაყავით 6m+12\sqrt{1+m^{2}} 8+6m^{2}-ზე.

$$y=\frac{3\left(2\sqrt{m^{2}+1}+m\right)}{3m^{2}+4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{6m±12\sqrt{m^{2}+1}}{6m^{2}+8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 12\sqrt{1+m^{2}} 6m-ს.

$$y=\frac{-12\sqrt{m^{2}+1}+6m}{6m^{2}+8}$$

გაყავით 6m-12\sqrt{1+m^{2}} 8+6m^{2}-ზე.

$$y=\frac{3\left(-2\sqrt{m^{2}+1}+m\right)}{3m^{2}+4}$$

არსებობს y-ის ორი ამონახსნი: \frac{3\left(m+2\sqrt{1+m^{2}}\right)}{4+3m^{2}} და \frac{3\left(m-2\sqrt{1+m^{2}}\right)}{4+3m^{2}}. ჩაანაცვლეთ \frac{3\left(m+2\sqrt{1+m^{2}}\right)}{4+3m^{2}}-ით y განტოლებაში x=my-1, რათა იპოვოთ x-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$x=m\times \frac{3\left(2\sqrt{m^{2}+1}+m\right)}{3m^{2}+4}-1$$

გაამრავლეთ m-ზე \frac{3\left(m+2\sqrt{1+m^{2}}\right)}{4+3m^{2}}.

$$x=\frac{3\left(2\sqrt{m^{2}+1}+m\right)}{3m^{2}+4}m-1$$

მიუმატეთ m\times \frac{3\left(m+2\sqrt{1+m^{2}}\right)}{4+3m^{2}} -1-ს.

$$x=-1+\frac{3\left(2\sqrt{m^{2}+1}+m\right)}{3m^{2}+4}m$$

ახლა ჩაანაცვლეთ \frac{3\left(m-2\sqrt{1+m^{2}}\right)}{4+3m^{2}}-ით y განტოლებაში x=my-1 და ამოხსენით, რათა იპოვოთ x-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$x=m\times \frac{3\left(-2\sqrt{m^{2}+1}+m\right)}{3m^{2}+4}-1$$

გაამრავლეთ m-ზე \frac{3\left(m-2\sqrt{1+m^{2}}\right)}{4+3m^{2}}.

$$x=\frac{3\left(-2\sqrt{m^{2}+1}+m\right)}{3m^{2}+4}m-1$$

მიუმატეთ m\times \frac{3\left(m-2\sqrt{1+m^{2}}\right)}{4+3m^{2}} -1-ს.

$$x=-1+\frac{3\left(-2\sqrt{m^{2}+1}+m\right)}{3m^{2}+4}m$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1+\frac{3\left(2\sqrt{m^{2}+1}+m\right)}{3m^{2}+4}m,y=\frac{3\left(2\sqrt{m^{2}+1}+m\right)}{3m^{2}+4}\text{ or }x=-1+\frac{3\left(-2\sqrt{m^{2}+1}+m\right)}{3m^{2}+4}m,y=\frac{3\left(-2\sqrt{m^{2}+1}+m\right)}{3m^{2}+4}$$

ამოხსნა x, y-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(3m\sqrt{m^{2}+1}+2\right)}{3m^{2}+4}\text{, }y=\frac{3\left(-2\sqrt{m^{2}+1}+m\right)}{3m^{2}+4}\text{; }x=\frac{2\left(3m\sqrt{m^{2}+1}-2\right)}{3m^{2}+4}\text{, }y=\frac{3\left(2\sqrt{m^{2}+1}+m\right)}{3m^{2}+4}\text{, }&m\neq -\frac{2\sqrt{3}i}{3}\text{ and }m\neq \frac{2\sqrt{3}i}{3}\\x=-\frac{5}{2}=-2.5\text{, }y=-\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\frac{2\sqrt{3}i}{3}\text{ or }m=\frac{2\sqrt{3}i}{3}\end{matrix}\right.$$