გადაწყვიტეთ {l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=4$$

$$y=0$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 20-ზე, 2,5,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 10 x+2-ზე.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 y-5-ზე.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

გამოაკელით 20 20-ს 0-ის მისაღებად.

$$10x+4y=5x+20$$

გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$10x+4y-5x=20$$

დააჯგუფეთ 10x და -5x, რათა მიიღოთ 5x.

$$5x+4y=20$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$3x+3y=x-1+9$$

შეკრიბეთ -1 და 9, რათა მიიღოთ 8.

$$3x+3y=x+8$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$3x+3y-x=8$$

დააჯგუფეთ 3x და -x, რათა მიიღოთ 2x.

$$2x+3y=8$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+4y=20$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-4y+20$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -4y+20.

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{4y}{5}+4-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+3y=8.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{4y}{5}+4.

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

მიუმატეთ -\frac{8y}{5} 3y-ს.

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{7}{5}y=0$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{7}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=0$$

ჩაანაცვლეთ 0-ით y აქ: x=-\frac{4}{5}y+4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=0$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 20-ზე, 2,5,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 10 x+2-ზე.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 y-5-ზე.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

გამოაკელით 20 20-ს 0-ის მისაღებად.

$$10x+4y=5x+20$$

გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$10x+4y-5x=20$$

დააჯგუფეთ 10x და -5x, რათა მიიღოთ 5x.

$$5x+4y=20$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$3x+3y=x-1+9$$

შეკრიბეთ -1 და 9, რათა მიიღოთ 8.

$$3x+3y=x+8$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$3x+3y-x=8$$

დააჯგუფეთ 3x და -x, რათა მიიღოთ 2x.

$$2x+3y=8$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=4,y=0$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 20-ზე, 2,5,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 10 x+2-ზე.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 y-5-ზე.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

გამოაკელით 20 20-ს 0-ის მისაღებად.

$$10x+4y=5x+20$$

გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$10x+4y-5x=20$$

დააჯგუფეთ 10x და -5x, რათა მიიღოთ 5x.

$$5x+4y=20$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$3x+3y=x-1+9$$

შეკრიბეთ -1 და 9, რათა მიიღოთ 8.

$$3x+3y=x+8$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$3x+3y-x=8$$

დააჯგუფეთ 3x და -x, რათა მიიღოთ 2x.

$$2x+3y=8$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

იმისათვის, რომ 5x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

გამოაკელით 10x+15y=40 10x+8y=40-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

მიუმატეთ 10x -10x-ს. პირობები 10x და -10x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$8y-15y=40-40$$

მიუმატეთ 8y -15y-ს.

$$-7y=40-40$$

მიუმატეთ 40 -40-ს.

$$-7y=0$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$y=0$$

ჩაანაცვლეთ 0-ით y აქ: 2x+3y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x=8$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=0$$