გადაწყვიტეთ {l}{x+1y-1/2+y-1/3=9}{x-1/3+y+1/2=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 y - 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=58$$

$$y=-23$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+1y-1-ზე.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y-1-ზე.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

დააჯგუფეთ 3y და 2y, რათა მიიღოთ 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

გამოაკელით 2 -3-ს -5-ის მისაღებად.

$$3x+5y-5=54$$

დაამატეთ 5 ორივე მხარეს.

$$3x+5y=54+5$$

შეკრიბეთ 54 და 5, რათა მიიღოთ 59.

$$3x+5y=59$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-1-ზე.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 y+1-ზე.

$$2x-2+3y+3=48$$

შეკრიბეთ -2 და 3, რათა მიიღოთ 1.

$$2x+1+3y=48$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$2x+3y=48-1$$

გამოაკელით 1 48-ს 47-ის მისაღებად.

$$2x+3y=47$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+5y=59$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-5y+59$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+59\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -5y+59.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-5y+59}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+3y=47.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}\right)+3y=47$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{-5y+59}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{118}{3}+3y=47$$

მიუმატეთ -\frac{10y}{3} 3y-ს.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{118}{3}=47$$

გამოაკელით \frac{118}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{23}{3}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -3-ზე.

$$y=-23$$

ჩაანაცვლეთ -23-ით y აქ: x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-23\right)+\frac{59}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{3}-ზე -23.

$$x=\frac{115+59}{3}$$

მიუმატეთ \frac{59}{3} \frac{115}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=58$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=58,y=-23$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+1y-1-ზე.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y-1-ზე.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

დააჯგუფეთ 3y და 2y, რათა მიიღოთ 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

გამოაკელით 2 -3-ს -5-ის მისაღებად.

$$3x+5y-5=54$$

დაამატეთ 5 ორივე მხარეს.

$$3x+5y=54+5$$

შეკრიბეთ 54 და 5, რათა მიიღოთ 59.

$$3x+5y=59$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-1-ზე.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 y+1-ზე.

$$2x-2+3y+3=48$$

შეკრიბეთ -2 და 3, რათა მიიღოთ 1.

$$2x+1+3y=48$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$2x+3y=48-1$$

გამოაკელით 1 48-ს 47-ის მისაღებად.

$$2x+3y=47$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 59+5\times 47\\2\times 59-3\times 47\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}58\\-23\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=58,y=-23$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+1y-1-ზე.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y-1-ზე.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

დააჯგუფეთ 3y და 2y, რათა მიიღოთ 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

გამოაკელით 2 -3-ს -5-ის მისაღებად.

$$3x+5y-5=54$$

დაამატეთ 5 ორივე მხარეს.

$$3x+5y=54+5$$

შეკრიბეთ 54 და 5, რათა მიიღოთ 59.

$$3x+5y=59$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-1-ზე.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 y+1-ზე.

$$2x-2+3y+3=48$$

შეკრიბეთ -2 და 3, რათა მიიღოთ 1.

$$2x+1+3y=48$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$2x+3y=48-1$$

გამოაკელით 1 48-ს 47-ის მისაღებად.

$$2x+3y=47$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

იმისათვის, რომ 3x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 59,3\times 2x+3\times 3y=3\times 47$$

გაამარტივეთ.

$$6x+10y=118,6x+9y=141$$

გამოაკელით 6x+9y=141 6x+10y=118-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+10y-9y=118-141$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$10y-9y=118-141$$

მიუმატეთ 10y -9y-ს.

$$y=118-141$$

მიუმატეთ 118 -141-ს.

$$y=-23$$

ჩაანაცვლეთ -23-ით y აქ: 2x+3y=47. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+3\left(-23\right)=47$$

გაამრავლეთ 3-ზე -23.

$$2x-69=47$$

მიუმატეთ 69 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=116$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=58$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=58,y=-23$$