გადაწყვიტეთ {l}{x+1/y+2=2/3}{x-2/y-1=1/3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { x - 2 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს -2-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 3\left(y+2\right)-ზე, y+2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+1-ზე.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y+2-ზე.

$$3x+3=2y+4$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3x+3-2y=4$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$3x-2y=4-3$$

გამოაკელით 3 4-ს 1-ის მისაღებად.

$$3x-2y=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 3\left(y-1\right)-ზე, y-1,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-2-ზე.

$$3x-6=y-1$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$3x-6-y=-1$$

დაამატეთ 6 ორივე მხარეს.

$$3x-y=-1+6$$

შეკრიბეთ -1 და 6, რათა მიიღოთ 5.

$$3x-y=5$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-2y=1$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=2y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2y+1}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-y=5.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=5$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{2y+1}{3}.

$$2y+1-y=5$$

მიუმატეთ 2y -y-ს.

$$y+1=5$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{2}{3}-ზე 4.

$$x=\frac{8+1}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} \frac{8}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს -2-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 3\left(y+2\right)-ზე, y+2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+1-ზე.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y+2-ზე.

$$3x+3=2y+4$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3x+3-2y=4$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$3x-2y=4-3$$

გამოაკელით 3 4-ს 1-ის მისაღებად.

$$3x-2y=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 3\left(y-1\right)-ზე, y-1,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-2-ზე.

$$3x-6=y-1$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$3x-6-y=-1$$

დაამატეთ 6 ორივე მხარეს.

$$3x-y=-1+6$$

შეკრიბეთ -1 და 6, რათა მიიღოთ 5.

$$3x-y=5$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს -2-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 3\left(y+2\right)-ზე, y+2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+1-ზე.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y+2-ზე.

$$3x+3=2y+4$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3x+3-2y=4$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$3x-2y=4-3$$

გამოაკელით 3 4-ს 1-ის მისაღებად.

$$3x-2y=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 3\left(y-1\right)-ზე, y-1,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-2-ზე.

$$3x-6=y-1$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$3x-6-y=-1$$

დაამატეთ 6 ორივე მხარეს.

$$3x-y=-1+6$$

შეკრიბეთ -1 და 6, რათა მიიღოთ 5.

$$3x-y=5$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

გამოაკელით 3x-y=5 3x-2y=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-3x-2y+y=1-5$$

მიუმატეთ 3x -3x-ს. პირობები 3x და -3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2y+y=1-5$$

მიუმატეთ -2y y-ს.

$$-y=1-5$$

მიუმატეთ 1 -5-ს.

$$-y=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: 3x-y=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-4=5$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=4$$