გადაწყვიტეთ {l}{k/L=100}{5k+50L=110}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { k } { L } = 100 } \\ { 5 k + 50 L = 110 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა k, L-ისთვის

$$k=20$$

$$L=\frac{1}{5}=0.2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი L არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ L-ზე.

$$k=100L$$

ჩაანაცვლეთ 100L-ით k მეორე განტოლებაში, 5k+50L=110.

$$5\times 100L+50L=110$$

გაამრავლეთ 5-ზე 100L.

$$500L+50L=110$$

მიუმატეთ 500L 50L-ს.

$$550L=110$$

ორივე მხარე გაყავით 550-ზე.

$$L=\frac{1}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{5}-ით L აქ: k=100L. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ k.

$$k=100\times \frac{1}{5}$$

გაამრავლეთ 100-ზე \frac{1}{5}.

$$k=20$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი L არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ L-ზე.

$$k=100L$$

გამოაკელით 100L ორივე მხარეს.

$$k-100L=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-\left(-100\times 5\right)}&-\frac{-100}{50-\left(-100\times 5\right)}\\-\frac{5}{50-\left(-100\times 5\right)}&\frac{1}{50-\left(-100\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{110}&\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 110\\\frac{1}{550}\times 110\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - k და L.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი L არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ L-ზე.

$$k=100L$$

გამოაკელით 100L ორივე მხარეს.

$$k-100L=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

იმისათვის, რომ k და 5k ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$5k+5\left(-100\right)L=0,5k+50L=110$$

გაამარტივეთ.

$$5k-500L=0,5k+50L=110$$

გამოაკელით 5k+50L=110 5k-500L=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$5k-5k-500L-50L=-110$$

მიუმატეთ 5k -5k-ს. პირობები 5k და -5k გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-500L-50L=-110$$

მიუმატეთ -500L -50L-ს.

$$-550L=-110$$

ორივე მხარე გაყავით -550-ზე.

$$L=\frac{1}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{5}-ით L აქ: 5k+50L=110. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ k.

$$5k+50\times \frac{1}{5}=110$$

გაამრავლეთ 50-ზე \frac{1}{5}.

$$5k+10=110$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5k=100$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$k=20$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$