გადაწყვიტეთ {l}{3/4x+4/9y=100}{5/6x+7/9y=90}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 4 } { 9 } y = 100 } \\ { \frac { 5 } { 6 } x + \frac { 7 } { 9 } y = 90 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{4080}{23} = 177\frac{9}{23} \approx 177.391304348$$

$$y = -\frac{1710}{23} = -74\frac{8}{23} \approx -74.347826087$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{9}y=100,\frac{5}{6}x+\frac{7}{9}y=90$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{9}y=100$$

გამოაკელით \frac{4y}{9} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{4}x=-\frac{4}{9}y+100$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{3}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{4}{9}y+100\right)$$

გაამრავლეთ \frac{4}{3}-ზე -\frac{4y}{9}+100.

$$x=-\frac{16}{27}y+\frac{400}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{16y}{27}+\frac{400}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{5}{6}x+\frac{7}{9}y=90.

$$\frac{5}{6}\left(-\frac{16}{27}y+\frac{400}{3}\right)+\frac{7}{9}y=90$$

გაამრავლეთ \frac{5}{6}-ზე -\frac{16y}{27}+\frac{400}{3}.

$$-\frac{40}{81}y+\frac{1000}{9}+\frac{7}{9}y=90$$

მიუმატეთ -\frac{40y}{81} \frac{7y}{9}-ს.

$$\frac{23}{81}y+\frac{1000}{9}=90$$

გამოაკელით \frac{1000}{9} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{23}{81}y=-\frac{190}{9}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{23}{81}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{1710}{23}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1710}{23}-ით y აქ: x=-\frac{16}{27}y+\frac{400}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{16}{27}\left(-\frac{1710}{23}\right)+\frac{400}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{16}{27}-ზე -\frac{1710}{23} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{3040}{69}+\frac{400}{3}$$

მიუმატეთ \frac{400}{3} \frac{3040}{69}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{4080}{23}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{4080}{23},y=-\frac{1710}{23}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{9}y=100,\frac{5}{6}x+\frac{7}{9}y=90$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{4}{9}\\\frac{5}{6}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\90\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{4}{9}\\\frac{5}{6}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{4}{9}\\\frac{5}{6}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{4}{9}\\\frac{5}{6}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{4}{9}\\\frac{5}{6}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\90\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{4}{9}\\\frac{5}{6}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\90\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{4}{9}\\\frac{5}{6}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\90\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{7}{9}}{\frac{3}{4}\times \frac{7}{9}-\frac{4}{9}\times \frac{5}{6}}&-\frac{\frac{4}{9}}{\frac{3}{4}\times \frac{7}{9}-\frac{4}{9}\times \frac{5}{6}}\\-\frac{\frac{5}{6}}{\frac{3}{4}\times \frac{7}{9}-\frac{4}{9}\times \frac{5}{6}}&\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\times \frac{7}{9}-\frac{4}{9}\times \frac{5}{6}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\90\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{84}{23}&-\frac{48}{23}\\-\frac{90}{23}&\frac{81}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\90\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{84}{23}\times 100-\frac{48}{23}\times 90\\-\frac{90}{23}\times 100+\frac{81}{23}\times 90\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4080}{23}\\-\frac{1710}{23}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{4080}{23},y=-\frac{1710}{23}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{9}y=100,\frac{5}{6}x+\frac{7}{9}y=90$$

იმისათვის, რომ \frac{3x}{4} და \frac{5x}{6} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{5}{6}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{3}{4}-ზე.

$$\frac{5}{6}\times \frac{3}{4}x+\frac{5}{6}\times \frac{4}{9}y=\frac{5}{6}\times 100,\frac{3}{4}\times \frac{5}{6}x+\frac{3}{4}\times \frac{7}{9}y=\frac{3}{4}\times 90$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{5}{8}x+\frac{10}{27}y=\frac{250}{3},\frac{5}{8}x+\frac{7}{12}y=\frac{135}{2}$$

გამოაკელით \frac{5}{8}x+\frac{7}{12}y=\frac{135}{2} \frac{5}{8}x+\frac{10}{27}y=\frac{250}{3}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{5}{8}x-\frac{5}{8}x+\frac{10}{27}y-\frac{7}{12}y=\frac{250}{3}-\frac{135}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5x}{8} -\frac{5x}{8}-ს. პირობები \frac{5x}{8} და -\frac{5x}{8} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{10}{27}y-\frac{7}{12}y=\frac{250}{3}-\frac{135}{2}$$

მიუმატეთ \frac{10y}{27} -\frac{7y}{12}-ს.

$$-\frac{23}{108}y=\frac{250}{3}-\frac{135}{2}$$

მიუმატეთ \frac{250}{3} -\frac{135}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$-\frac{23}{108}y=\frac{95}{6}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{23}{108}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{1710}{23}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1710}{23}-ით y აქ: \frac{5}{6}x+\frac{7}{9}y=90. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\frac{5}{6}x+\frac{7}{9}\left(-\frac{1710}{23}\right)=90$$

გაამრავლეთ \frac{7}{9}-ზე -\frac{1710}{23} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$\frac{5}{6}x-\frac{1330}{23}=90$$

მიუმატეთ \frac{1330}{23} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{6}x=\frac{3400}{23}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{6}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{4080}{23}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{4080}{23},y=-\frac{1710}{23}$$