გადაწყვიტეთ {l}{2/3A+B=400}{A+4/5B=460}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } A + B = 400 } \\ { A + \frac { 4 } { 5 } B = 460 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა A, B-ისთვის

$$A=300$$

$$B=200$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი A-ისთვის, A-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$\frac{2}{3}A+B=400$$

გამოაკელით B განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{2}{3}A=-B+400$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{2}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$A=\frac{3}{2}\left(-B+400\right)$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე -B+400.

$$A=-\frac{3}{2}B+600$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3B}{2}+600-ით A მეორე განტოლებაში, A+\frac{4}{5}B=460.

$$-\frac{3}{2}B+600+\frac{4}{5}B=460$$

მიუმატეთ -\frac{3B}{2} \frac{4B}{5}-ს.

$$-\frac{7}{10}B+600=460$$

გამოაკელით 600 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{7}{10}B=-140$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{7}{10}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$B=200$$

ჩაანაცვლეთ 200-ით B აქ: A=-\frac{3}{2}B+600. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ A.

$$A=-\frac{3}{2}\times 200+600$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე 200.

$$A=-300+600$$

მიუმატეთ 600 -300-ს.

$$A=300$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$A=300,B=200$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{10}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}\times 400+\frac{15}{7}\times 460\\\frac{15}{7}\times 400-\frac{10}{7}\times 460\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - A და B.

$$A=300,B=200$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

იმისათვის, რომ \frac{2A}{3} და A ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{2}{3}-ზე.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}B=\frac{2}{3}\times 460$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}$$

გამოაკელით \frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3} \frac{2}{3}A+B=400-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{2}{3}A-\frac{2}{3}A+B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2A}{3} -\frac{2A}{3}-ს. პირობები \frac{2A}{3} და -\frac{2A}{3} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

მიუმატეთ B -\frac{8B}{15}-ს.

$$\frac{7}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

მიუმატეთ 400 -\frac{920}{3}-ს.

$$\frac{7}{15}B=\frac{280}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{7}{15}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$B=200$$

ჩაანაცვლეთ 200-ით B აქ: A+\frac{4}{5}B=460. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ A.

$$A+\frac{4}{5}\times 200=460$$

გაამრავლეთ \frac{4}{5}-ზე 200.

$$A+160=460$$

გამოაკელით 160 განტოლების ორივე მხარეს.

$$A=300$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$A=300,B=200$$