გადაწყვიტეთ {l}{11/6x-7-1/3y=7}{11/6y-7/2-frac{1}{3}x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 11 } { 6 } x - 7 - \frac { 1 } { 3 } y = 7 } \\ { \frac { 11 } { 6 } y - \frac { 7 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } x = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{322}{39} = 8\frac{10}{39} \approx 8.256410256$$

$$y = \frac{133}{39} = 3\frac{16}{39} \approx 3.41025641$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y-7=7,-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y-7=7$$

მიუმატეთ 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y=14$$

მიუმატეთ \frac{y}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{11}{6}x=\frac{1}{3}y+14$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{11}{6}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{6}{11}\left(\frac{1}{3}y+14\right)$$

გაამრავლეთ \frac{6}{11}-ზე \frac{y}{3}+14.

$$x=\frac{2}{11}y+\frac{84}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{84+2y}{11}-ით x მეორე განტოლებაში, -\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0.

$$-\frac{1}{3}\left(\frac{2}{11}y+\frac{84}{11}\right)+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე \frac{84+2y}{11}.

$$-\frac{2}{33}y-\frac{28}{11}+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

მიუმატეთ -\frac{2y}{33} \frac{11y}{6}-ს.

$$\frac{39}{22}y-\frac{28}{11}-\frac{7}{2}=0$$

მიუმატეთ -\frac{28}{11} -\frac{7}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$\frac{39}{22}y-\frac{133}{22}=0$$

მიუმატეთ \frac{133}{22} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{39}{22}y=\frac{133}{22}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{39}{22}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{133}{39}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{133}{39}-ით y აქ: x=\frac{2}{11}y+\frac{84}{11}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{2}{11}\times \frac{133}{39}+\frac{84}{11}$$

გაამრავლეთ \frac{2}{11}-ზე \frac{133}{39} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{266}{429}+\frac{84}{11}$$

მიუმატეთ \frac{84}{11} \frac{266}{429}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{322}{39}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{322}{39},y=\frac{133}{39}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y-7=7,-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{11}{6}}{\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}&\frac{\frac{11}{6}}{\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{39}&\frac{4}{39}\\\frac{4}{39}&\frac{22}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{39}\times 14+\frac{4}{39}\times \frac{7}{2}\\\frac{4}{39}\times 14+\frac{22}{39}\times \frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{322}{39}\\\frac{133}{39}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{322}{39},y=\frac{133}{39}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y-7=7,-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

იმისათვის, რომ \frac{11x}{6} და -\frac{x}{3} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -\frac{1}{3}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{11}{6}-ზე.

$$-\frac{1}{3}\times \frac{11}{6}x-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)y-\frac{1}{3}\left(-7\right)=-\frac{1}{3}\times 7,\frac{11}{6}\left(-\frac{1}{3}\right)x+\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}y+\frac{11}{6}\left(-\frac{7}{2}\right)=0$$

გაამარტივეთ.

$$-\frac{11}{18}x+\frac{1}{9}y+\frac{7}{3}=-\frac{7}{3},-\frac{11}{18}x+\frac{121}{36}y-\frac{77}{12}=0$$

გამოაკელით -\frac{11}{18}x+\frac{121}{36}y-\frac{77}{12}=0 -\frac{11}{18}x+\frac{1}{9}y+\frac{7}{3}=-\frac{7}{3}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-\frac{11}{18}x+\frac{11}{18}x+\frac{1}{9}y-\frac{121}{36}y+\frac{7}{3}+\frac{77}{12}=-\frac{7}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{11x}{18} \frac{11x}{18}-ს. პირობები -\frac{11x}{18} და \frac{11x}{18} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{1}{9}y-\frac{121}{36}y+\frac{7}{3}+\frac{77}{12}=-\frac{7}{3}$$

მიუმატეთ \frac{y}{9} -\frac{121y}{36}-ს.

$$-\frac{13}{4}y+\frac{7}{3}+\frac{77}{12}=-\frac{7}{3}$$

მიუმატეთ \frac{7}{3} \frac{77}{12}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$-\frac{13}{4}y+\frac{35}{4}=-\frac{7}{3}$$

გამოაკელით \frac{35}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{133}{12}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{13}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{133}{39}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{133}{39}-ით y აქ: -\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}\times \frac{133}{39}-\frac{7}{2}=0$$

გაამრავლეთ \frac{11}{6}-ზე \frac{133}{39} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1463}{234}-\frac{7}{2}=0$$

მიუმატეთ \frac{1463}{234} -\frac{7}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{322}{117}=0$$

გამოაკელით \frac{322}{117} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{322}{117}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -3-ზე.

$$x=\frac{322}{39}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{322}{39},y=\frac{133}{39}$$