გადაწყვიტეთ {l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 100-ზე.

$$108x+110y=100800$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეამცირეთ წილადი \frac{110}{100} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

შეამცირეთ წილადი \frac{108}{100} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$108x+110y=100800$$

გამოაკელით 110y განტოლების ორივე მხარეს.

$$108x=-110y+100800$$

ორივე მხარე გაყავით 108-ზე.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{108}-ზე -110y+100800.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

გაამრავლეთ \frac{11}{10}-ზე -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

მიუმატეთ -\frac{121y}{108} \frac{27y}{25}-ს.

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

გამოაკელით \frac{3080}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{109}{2700}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3600}{109}-ით y აქ: x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{55}{54}-ზე -\frac{3600}{109} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2800}{3} \frac{11000}{327}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{105400}{109}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 100-ზე.

$$108x+110y=100800$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეამცირეთ წილადი \frac{110}{100} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

შეამცირეთ წილადი \frac{108}{100} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 100-ზე.

$$108x+110y=100800$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეამცირეთ წილადი \frac{110}{100} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

შეამცირეთ წილადი \frac{108}{100} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

იმისათვის, რომ 108x და \frac{11x}{10} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{11}{10}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 108-ზე.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

გამოაკელით \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 \frac{594}{5}x+121y=110880-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

მიუმატეთ \frac{594x}{5} -\frac{594x}{5}-ს. პირობები \frac{594x}{5} და -\frac{594x}{5} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

მიუმატეთ 121y -\frac{2916y}{25}-ს.

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

მიუმატეთ 110880 -111024-ს.

$$\frac{109}{25}y=-144$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{109}{25}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3600}{109}-ით y აქ: \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

გაამრავლეთ \frac{27}{25}-ზე -\frac{3600}{109} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

მიუმატეთ \frac{3888}{109} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{11}{10}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{105400}{109}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$