გადაწყვიტეთ {l}{1/5y-x=1/2text{op}}{1/3x-1/2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } y - x = \frac { 1 } { 2 } \text { op } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 10 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5$$

$$y=115$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ x განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

გაამრავლეთ 5-ზე x+\frac{1}{2}.

$$y=5x+\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ 5x+\frac{5}{2}-ით y მეორე განტოლებაში, -\frac{1}{2}y+3x=10.

$$-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე 5x+\frac{5}{2}.

$$-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10$$

მიუმატეთ -\frac{5x}{2} 3x-ს.

$$\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10$$

მიუმატეთ \frac{5}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$x=\frac{45}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{45}{2}-ით x აქ: y=5x+\frac{5}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{45}{2}.

$$y=\frac{225+5}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} \frac{225}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y=115$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

იმისათვის, რომ \frac{y}{5} და -\frac{y}{2} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -\frac{1}{2}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{5}-ზე.

$$-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10$$

გაამარტივეთ.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2$$

გამოაკელით -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2 -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

მიუმატეთ -\frac{y}{10} \frac{y}{10}-ს. პირობები -\frac{y}{10} და \frac{y}{10} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

მიუმატეთ \frac{x}{2} -\frac{3x}{5}-ს.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2$$

მიუმატეთ -\frac{1}{4} -2-ს.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -10-ზე.

$$x=\frac{45}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{45}{2}-ით x აქ: -\frac{1}{2}y+3x=10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{45}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10$$

გამოაკელით \frac{135}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -2-ზე.

$$y=115$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$