გადაწყვიტეთ {l}{1/2x-1+2y/12=2x-5y/3-7/4}{frac{1}{5}x+frac{2}{7}y=-frac{3}{35}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 + 2 y } { 12 } = \frac { 2 x - 5 y } { 3 } - \frac { 7 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 5 } x + \frac { 2 } { 7 } y = - \frac { 3 } { 35 } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 2,12,3,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 2x-5y-ზე.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

დააჯგუფეთ 6x და -8x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

დაამატეთ 20y ორივე მხარეს.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

დააჯგუფეთ -2y და 20y, რათა მიიღოთ 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს.

$$-2x+18y=-21+1$$

შეკრიბეთ -21 და 1, რათა მიიღოთ -20.

$$-2x+18y=-20$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-2x+18y=-20$$

გამოაკელით 18y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=-18y-20$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-18y-20\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -18y-20.

$$x=9y+10$$

ჩაანაცვლეთ 9y+10-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}.

$$\frac{1}{5}\left(9y+10\right)+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 9y+10.

$$\frac{9}{5}y+2+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

მიუმატეთ \frac{9y}{5} \frac{2y}{7}-ს.

$$\frac{73}{35}y+2=-\frac{3}{35}$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{73}{35}y=-\frac{73}{35}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{73}{35}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: x=9y+10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=9\left(-1\right)+10$$

გაამრავლეთ 9-ზე -1.

$$x=-9+10$$

მიუმატეთ 10 -9-ს.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 2,12,3,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 2x-5y-ზე.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

დააჯგუფეთ 6x და -8x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

დაამატეთ 20y ორივე მხარეს.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

დააჯგუფეთ -2y და 20y, რათა მიიღოთ 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს.

$$-2x+18y=-21+1$$

შეკრიბეთ -21 და 1, რათა მიიღოთ -20.

$$-2x+18y=-20$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{7}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{18}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{2}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}&\frac{315}{73}\\\frac{7}{146}&\frac{35}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}\left(-20\right)+\frac{315}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\\\frac{7}{146}\left(-20\right)+\frac{35}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 2,12,3,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 2x-5y-ზე.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

დააჯგუფეთ 6x და -8x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

დაამატეთ 20y ორივე მხარეს.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

დააჯგუფეთ -2y და 20y, რათა მიიღოთ 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს.

$$-2x+18y=-21+1$$

შეკრიბეთ -21 და 1, რათა მიიღოთ -20.

$$-2x+18y=-20$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

იმისათვის, რომ -2x და \frac{x}{5} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{5}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე.

$$\frac{1}{5}\left(-2\right)x+\frac{1}{5}\times 18y=\frac{1}{5}\left(-20\right),-2\times \frac{1}{5}x-2\times \frac{2}{7}y=-2\left(-\frac{3}{35}\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4,-\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35}$$

გამოაკელით -\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35} -\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

მიუმატეთ -\frac{2x}{5} \frac{2x}{5}-ს. პირობები -\frac{2x}{5} და \frac{2x}{5} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

მიუმატეთ \frac{18y}{5} \frac{4y}{7}-ს.

$$\frac{146}{35}y=-4-\frac{6}{35}$$

მიუმატეთ -4 -\frac{6}{35}-ს.

$$\frac{146}{35}y=-\frac{146}{35}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{146}{35}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}\left(-1\right)=-\frac{3}{35}$$

გაამრავლეთ \frac{2}{7}-ზე -1.

$$\frac{1}{5}x-\frac{2}{7}=-\frac{3}{35}$$

მიუმატეთ \frac{2}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{5}x=\frac{1}{5}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-1$$