გადაწყვიტეთ {c}{y-3x+15=10}{6-4x=y}

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 15 ორივე მხარეს.

$$y-3x=10-15$$

გამოაკელით 15 10-ს -5-ის მისაღებად.

$$y-3x=-5$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$6-4x-y=0$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-4x-y=-6$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-3x=-5$$

მიუმატეთ 3x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=3x-5$$

ჩაანაცვლეთ 3x-5-ით y მეორე განტოლებაში, -y-4x=-6.

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

გაამრავლეთ -1-ზე 3x-5.

$$-3x+5-4x=-6$$

მიუმატეთ -3x -4x-ს.

$$-7x+5=-6$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7x=-11$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$x=\frac{11}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{11}{7}-ით x აქ: y=3x-5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{11}{7}.

$$y=\frac{33}{7}-5$$

მიუმატეთ -5 \frac{33}{7}-ს.

$$y=-\frac{2}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 15 ორივე მხარეს.

$$y-3x=10-15$$

გამოაკელით 15 10-ს -5-ის მისაღებად.

$$y-3x=-5$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$6-4x-y=0$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-4x-y=-6$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 15 ორივე მხარეს.

$$y-3x=10-15$$

გამოაკელით 15 10-ს -5-ის მისაღებად.

$$y-3x=-5$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$6-4x-y=0$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-4x-y=-6$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

იმისათვის, რომ y და -y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

გაამარტივეთ.

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

გამოაკელით -y-4x=-6 -y+3x=5-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

მიუმატეთ -y y-ს. პირობები -y და y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3x+4x=5+6$$

მიუმატეთ 3x 4x-ს.

$$7x=5+6$$

მიუმატეთ 5 6-ს.

$$7x=11$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{11}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{11}{7}-ით x აქ: -y-4x=-6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{11}{7}.

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

მიუმატეთ \frac{44}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=\frac{2}{7}$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=-\frac{2}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$