გადაწყვიტეთ {c}{y=x-1000}{0.09x+0.045y=528.75}

$$\left. \begin{array} { c } { y = x - 1000 } \\ { 0.09 x + 0.045 y = 528.75 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=4250$$

$$y=3250$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-1000$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-x=-1000,0.045y+0.09x=528.75$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-x=-1000$$

მიუმატეთ x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=x-1000$$

ჩაანაცვლეთ x-1000-ით y მეორე განტოლებაში, 0.045y+0.09x=528.75.

$$0.045\left(x-1000\right)+0.09x=528.75$$

გაამრავლეთ 0.045-ზე x-1000.

$$0.045x-45+0.09x=528.75$$

მიუმატეთ \frac{9x}{200} \frac{9x}{100}-ს.

$$0.135x-45=528.75$$

მიუმატეთ 45 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.135x=573.75$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.135-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=4250$$

ჩაანაცვლეთ 4250-ით x აქ: y=x-1000. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=4250-1000$$

მიუმატეთ -1000 4250-ს.

$$y=3250$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=3250,x=4250$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-1000$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-x=-1000,0.045y+0.09x=528.75$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\0.045&0.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1000\\528.75\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-1\\0.045&0.09\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.045&0.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\0.045&0.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.045&0.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1000\\528.75\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.045&0.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1000\\528.75\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.045&0.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1000\\528.75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.09}{0.09-\left(-0.045\right)}&-\frac{-1}{0.09-\left(-0.045\right)}\\-\frac{0.045}{0.09-\left(-0.045\right)}&\frac{1}{0.09-\left(-0.045\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1000\\528.75\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{200}{27}\\-\frac{1}{3}&\frac{200}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1000\\528.75\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-1000\right)+\frac{200}{27}\times 528.75\\-\frac{1}{3}\left(-1000\right)+\frac{200}{27}\times 528.75\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3250\\4250\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=3250,x=4250$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-1000$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-x=-1000,0.045y+0.09x=528.75$$

იმისათვის, რომ y და \frac{9y}{200} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 0.045-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$0.045y+0.045\left(-1\right)x=0.045\left(-1000\right),0.045y+0.09x=528.75$$

გაამარტივეთ.

$$0.045y-0.045x=-45,0.045y+0.09x=528.75$$

გამოაკელით 0.045y+0.09x=528.75 0.045y-0.045x=-45-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$0.045y-0.045y-0.045x-0.09x=-45-528.75$$

მიუმატეთ \frac{9y}{200} -\frac{9y}{200}-ს. პირობები \frac{9y}{200} და -\frac{9y}{200} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-0.045x-0.09x=-45-528.75$$

მიუმატეთ -\frac{9x}{200} -\frac{9x}{100}-ს.

$$-0.135x=-45-528.75$$

მიუმატეთ -45 -528.75-ს.

$$-0.135x=-573.75$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -0.135-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=4250$$

ჩაანაცვლეთ 4250-ით x აქ: 0.045y+0.09x=528.75. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$0.045y+0.09\times 4250=528.75$$

გაამრავლეთ 0.09-ზე 4250.

$$0.045y+382.5=528.75$$

გამოაკელით 382.5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.045y=146.25$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.045-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=3250$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=3250,x=4250$$