გადაწყვიტეთ {c}{x=3y+2}{x-5=4(y-5)}

$$\left. \begin{array} { c } { x = 3 y + 2 } \\ { x - 5 = 4 ( y - 5 ) } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=53$$

$$y=17$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x-3y=2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 y-5-ზე.

$$x-5=4y-20$$

გამოაკელით 4y ორივე მხარეს.

$$x-5-4y=-20$$

დაამატეთ 5 ორივე მხარეს.

$$x-4y=-20+5$$

შეკრიბეთ -20 და 5, რათა მიიღოთ -15.

$$x-4y=-15$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-3y=2$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3y+2$$

ჩაანაცვლეთ 3y+2-ით x მეორე განტოლებაში, x-4y=-15.

$$3y+2-4y=-15$$

მიუმატეთ 3y -4y-ს.

$$-y+2=-15$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=-17$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=17$$

ჩაანაცვლეთ 17-ით y აქ: x=3y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=3\times 17+2$$

გაამრავლეთ 3-ზე 17.

$$x=51+2$$

მიუმატეთ 2 51-ს.

$$x=53$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=53,y=17$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x-3y=2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 y-5-ზე.

$$x-5=4y-20$$

გამოაკელით 4y ორივე მხარეს.

$$x-5-4y=-20$$

დაამატეთ 5 ორივე მხარეს.

$$x-4y=-20+5$$

შეკრიბეთ -20 და 5, რათა მიიღოთ -15.

$$x-4y=-15$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-3\left(-15\right)\\2-\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\17\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=53,y=17$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x-3y=2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 y-5-ზე.

$$x-5=4y-20$$

გამოაკელით 4y ორივე მხარეს.

$$x-5-4y=-20$$

დაამატეთ 5 ორივე მხარეს.

$$x-4y=-20+5$$

შეკრიბეთ -20 და 5, რათა მიიღოთ -15.

$$x-4y=-15$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

გამოაკელით x-4y=-15 x-3y=2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x-x-3y+4y=2+15$$

მიუმატეთ x -x-ს. პირობები x და -x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y+4y=2+15$$

მიუმატეთ -3y 4y-ს.

$$y=2+15$$

მიუმატეთ 2 15-ს.

$$y=17$$

ჩაანაცვლეთ 17-ით y აქ: x-4y=-15. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-4\times 17=-15$$

გაამრავლეთ -4-ზე 17.

$$x-68=-15$$

მიუმატეთ 68 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=53$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=53,y=17$$