გადაწყვიტეთ {c}{x+y=55}{4x+2y=170}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 55 } \\ { 4 x + 2 y = 170 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=30$$

$$y=25$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=55,4x+2y=170$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=55$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+55$$

ჩაანაცვლეთ -y+55-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+2y=170.

$$4\left(-y+55\right)+2y=170$$

გაამრავლეთ 4-ზე -y+55.

$$-4y+220+2y=170$$

მიუმატეთ -4y 2y-ს.

$$-2y+220=170$$

გამოაკელით 220 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2y=-50$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=25$$

ჩაანაცვლეთ 25-ით y აქ: x=-y+55. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-25+55$$

მიუმატეთ 55 -25-ს.

$$x=30$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=30,y=25$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=55,4x+2y=170$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\170\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\170\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\170\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\170\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\170\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\170\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-55+\frac{1}{2}\times 170\\2\times 55-\frac{1}{2}\times 170\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\25\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=30,y=25$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=55,4x+2y=170$$

იმისათვის, რომ x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$4x+4y=4\times 55,4x+2y=170$$

გაამარტივეთ.

$$4x+4y=220,4x+2y=170$$

გამოაკელით 4x+2y=170 4x+4y=220-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4x-4x+4y-2y=220-170$$

მიუმატეთ 4x -4x-ს. პირობები 4x და -4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4y-2y=220-170$$

მიუმატეთ 4y -2y-ს.

$$2y=220-170$$

მიუმატეთ 220 -170-ს.

$$2y=50$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=25$$

ჩაანაცვლეთ 25-ით y აქ: 4x+2y=170. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+2\times 25=170$$

გაამრავლეთ 2-ზე 25.

$$4x+50=170$$

გამოაკელით 50 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=120$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=30$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=30,y=25$$