გადაწყვიტეთ {c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=21$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+21$$

ჩაანაცვლეთ -y+21-ით x მეორე განტოლებაში, 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

გაამრავლეთ 0.25-ზე -y+21.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

მიუმატეთ -\frac{y}{4} \frac{y}{20}-ს.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

გამოაკელით 5.25 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-0.2y=-1.9$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -5-ზე.

$$y=9.5$$

ჩაანაცვლეთ 9.5-ით y აქ: x=-y+21. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-9.5+21$$

მიუმატეთ 21 -9.5-ს.

$$x=11.5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=11.5,y=9.5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=11.5,y=9.5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

იმისათვის, რომ x და \frac{x}{4} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 0.25-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

გაამარტივეთ.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

გამოაკელით 0.25x+0.05y=3.35 0.25x+0.25y=5.25-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

მიუმატეთ \frac{x}{4} -\frac{x}{4}-ს. პირობები \frac{x}{4} და -\frac{x}{4} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

მიუმატეთ \frac{y}{4} -\frac{y}{20}-ს.

$$0.2y=5.25-3.35$$

მიუმატეთ 5.25 -3.35-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$0.2y=1.9$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$y=9.5$$

ჩაანაცვლეთ 9.5-ით y აქ: 0.25x+0.05y=3.35. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

გაამრავლეთ 0.05-ზე 9.5 მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$0.25x+0.475=3.35$$

გამოაკელით 0.475 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.25x=2.875$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$x=11.5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=11.5,y=9.5$$