გადაწყვიტეთ {c}{x+y=0}{4y+x=1}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 0 } \\ { 4 y + x = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=0,x+4y=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=0$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y$$

ჩაანაცვლეთ -y-ით x მეორე განტოლებაში, x+4y=1.

$$-y+4y=1$$

მიუმატეთ -y 4y-ს.

$$3y=1$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{3}-ით y აქ: x=-y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=0,x+4y=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-1}&-\frac{1}{4-1}\\-\frac{1}{4-1}&\frac{1}{4-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=0,x+4y=1$$

გამოაკელით x+4y=1 x+y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x-x+y-4y=-1$$

მიუმატეთ x -x-ს. პირობები x და -x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$y-4y=-1$$

მიუმატეთ y -4y-ს.

$$-3y=-1$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{3}-ით y აქ: x+4y=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+4\times \frac{1}{3}=1$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{1}{3}.

$$x+\frac{4}{3}=1$$

გამოაკელით \frac{4}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{1}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$