გადაწყვიტეთ {c}{7x+5y=54}{3x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { c } { 7 x + 5 y = 54 } \\ { 3 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$7x+5y=54$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=-5y+54$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+54\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე -5y+54.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-5y+54}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+4y=38.

$$3\left(-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}\right)+4y=38$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{-5y+54}{7}.

$$-\frac{15}{7}y+\frac{162}{7}+4y=38$$

მიუმატეთ -\frac{15y}{7} 4y-ს.

$$\frac{13}{7}y+\frac{162}{7}=38$$

გამოაკელით \frac{162}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{13}{7}y=\frac{104}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{13}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=8$$

ჩაანაცვლეთ 8-ით y აქ: x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{7}\times 8+\frac{54}{7}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{7}-ზე 8.

$$x=\frac{-40+54}{7}$$

მიუმატეთ \frac{54}{7} -\frac{40}{7}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=8$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{7\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{7\times 4-5\times 3}&\frac{7}{7\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{7}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times 54-\frac{5}{13}\times 38\\-\frac{3}{13}\times 54+\frac{7}{13}\times 38\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=8$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

იმისათვის, რომ 7x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე.

$$3\times 7x+3\times 5y=3\times 54,7\times 3x+7\times 4y=7\times 38$$

გაამარტივეთ.

$$21x+15y=162,21x+28y=266$$

გამოაკელით 21x+28y=266 21x+15y=162-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$21x-21x+15y-28y=162-266$$

მიუმატეთ 21x -21x-ს. პირობები 21x და -21x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$15y-28y=162-266$$

მიუმატეთ 15y -28y-ს.

$$-13y=162-266$$

მიუმატეთ 162 -266-ს.

$$-13y=-104$$

ორივე მხარე გაყავით -13-ზე.

$$y=8$$

ჩაანაცვლეთ 8-ით y აქ: 3x+4y=38. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+4\times 8=38$$

გაამრავლეთ 4-ზე 8.

$$3x+32=38$$

გამოაკელით 32 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=8$$