გადაწყვიტეთ {c}{7x+5y=54}{-2x+3y=-24}

$$\left. \begin{array} { c } { 7 x + 5 y = 54 } \\ { - 2 x + 3 y = - 24 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{282}{31} = 9\frac{3}{31} \approx 9.096774194$$

$$y = -\frac{60}{31} = -1\frac{29}{31} \approx -1.935483871$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$7x+5y=54,-2x+3y=-24$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$7x+5y=54$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=-5y+54$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+54\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე -5y+54.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-5y+54}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, -2x+3y=-24.

$$-2\left(-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}\right)+3y=-24$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{-5y+54}{7}.

$$\frac{10}{7}y-\frac{108}{7}+3y=-24$$

მიუმატეთ \frac{10y}{7} 3y-ს.

$$\frac{31}{7}y-\frac{108}{7}=-24$$

მიუმატეთ \frac{108}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{31}{7}y=-\frac{60}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{31}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{60}{31}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{60}{31}-ით y აქ: x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{7}\left(-\frac{60}{31}\right)+\frac{54}{7}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{7}-ზე -\frac{60}{31} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{300}{217}+\frac{54}{7}$$

მიუმატეთ \frac{54}{7} \frac{300}{217}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{282}{31}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{282}{31},y=-\frac{60}{31}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$7x+5y=54,-2x+3y=-24$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}54\\-24\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}7&5\\-2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\-24\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\-24\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{7\times 3-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{7\times 3-5\left(-2\right)}&\frac{7}{7\times 3-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\-24\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{31}&-\frac{5}{31}\\\frac{2}{31}&\frac{7}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\-24\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{31}\times 54-\frac{5}{31}\left(-24\right)\\\frac{2}{31}\times 54+\frac{7}{31}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{282}{31}\\-\frac{60}{31}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{282}{31},y=-\frac{60}{31}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$7x+5y=54,-2x+3y=-24$$

იმისათვის, რომ 7x და -2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე.

$$-2\times 7x-2\times 5y=-2\times 54,7\left(-2\right)x+7\times 3y=7\left(-24\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-14x-10y=-108,-14x+21y=-168$$

გამოაკელით -14x+21y=-168 -14x-10y=-108-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-14x+14x-10y-21y=-108+168$$

მიუმატეთ -14x 14x-ს. პირობები -14x და 14x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-10y-21y=-108+168$$

მიუმატეთ -10y -21y-ს.

$$-31y=-108+168$$

მიუმატეთ -108 168-ს.

$$-31y=60$$

ორივე მხარე გაყავით -31-ზე.

$$y=-\frac{60}{31}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{60}{31}-ით y აქ: -2x+3y=-24. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-2x+3\left(-\frac{60}{31}\right)=-24$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{60}{31}.

$$-2x-\frac{180}{31}=-24$$

მიუმატეთ \frac{180}{31} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=-\frac{564}{31}$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=\frac{282}{31}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{282}{31},y=-\frac{60}{31}$$