გადაწყვიტეთ {c}{40x+60y=480}{30x+15y=180}

$$\left. \begin{array} { c } { 40 x + 60 y = 480 } \\ { 30 x + 15 y = 180 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$40x+60y=480$$

გამოაკელით 60y განტოლების ორივე მხარეს.

$$40x=-60y+480$$

ორივე მხარე გაყავით 40-ზე.

$$x=\frac{1}{40}\left(-60y+480\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{40}-ზე -60y+480.

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{2}+12-ით x მეორე განტოლებაში, 30x+15y=180.

$$30\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+15y=180$$

გაამრავლეთ 30-ზე -\frac{3y}{2}+12.

$$-45y+360+15y=180$$

მიუმატეთ -45y 15y-ს.

$$-30y+360=180$$

გამოაკელით 360 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-30y=-180$$

ორივე მხარე გაყავით -30-ზე.

$$y=6$$

ჩაანაცვლეთ 6-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y+12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+12$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე 6.

$$x=-9+12$$

მიუმატეთ 12 -9-ს.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=6$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-60\times 30}&-\frac{60}{40\times 15-60\times 30}\\-\frac{30}{40\times 15-60\times 30}&\frac{40}{40\times 15-60\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 480+\frac{1}{20}\times 180\\\frac{1}{40}\times 480-\frac{1}{30}\times 180\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=6$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

იმისათვის, რომ 40x და 30x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 30-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 40-ზე.

$$30\times 40x+30\times 60y=30\times 480,40\times 30x+40\times 15y=40\times 180$$

გაამარტივეთ.

$$1200x+1800y=14400,1200x+600y=7200$$

გამოაკელით 1200x+600y=7200 1200x+1800y=14400-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$1200x-1200x+1800y-600y=14400-7200$$

მიუმატეთ 1200x -1200x-ს. პირობები 1200x და -1200x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$1800y-600y=14400-7200$$

მიუმატეთ 1800y -600y-ს.

$$1200y=14400-7200$$

მიუმატეთ 14400 -7200-ს.

$$1200y=7200$$

ორივე მხარე გაყავით 1200-ზე.

$$y=6$$

ჩაანაცვლეთ 6-ით y აქ: 30x+15y=180. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$30x+15\times 6=180$$

გაამრავლეთ 15-ზე 6.

$$30x+90=180$$

გამოაკელით 90 განტოლების ორივე მხარეს.

$$30x=90$$

ორივე მხარე გაყავით 30-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=6$$