გადაწყვიტეთ {c}{4x-y=4}{-12x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x - y = 4 } \\ { - 12 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$y=-9$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x-y=4$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე y+4.

$$x=\frac{1}{4}y+1$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y}{4}+1-ით x მეორე განტოლებაში, -12x+2y=-3.

$$-12\left(\frac{1}{4}y+1\right)+2y=-3$$

გაამრავლეთ -12-ზე \frac{y}{4}+1.

$$-3y-12+2y=-3$$

მიუმატეთ -3y 2y-ს.

$$-y-12=-3$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=9$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=-9$$

ჩაანაცვლეთ -9-ით y აქ: x=\frac{1}{4}y+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9\right)+1$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -9.

$$x=-\frac{9}{4}+1$$

მიუმატეთ 1 -\frac{9}{4}-ს.

$$x=-\frac{5}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\\-\frac{-12}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-3\times 4-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\\-9\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

იმისათვის, რომ 4x და -12x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -12-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$-12\times 4x-12\left(-1\right)y=-12\times 4,4\left(-12\right)x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-48x+12y=-48,-48x+8y=-12$$

გამოაკელით -48x+8y=-12 -48x+12y=-48-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-48x+48x+12y-8y=-48+12$$

მიუმატეთ -48x 48x-ს. პირობები -48x და 48x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12y-8y=-48+12$$

მიუმატეთ 12y -8y-ს.

$$4y=-48+12$$

მიუმატეთ -48 12-ს.

$$4y=-36$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=-9$$

ჩაანაცვლეთ -9-ით y აქ: -12x+2y=-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-12x+2\left(-9\right)=-3$$

გაამრავლეთ 2-ზე -9.

$$-12x-18=-3$$

მიუმატეთ 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-12x=15$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$x=-\frac{5}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$