გადაწყვიტეთ {c}{4x+2y=22}{-2x+2y=-8}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 22 } \\ { - 2 x + 2 y = - 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=5$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+2y=22,-2x+2y=-8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+2y=22$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-2y+22$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+22\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -2y+22.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+11}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, -2x+2y=-8.

$$-2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)+2y=-8$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{-y+11}{2}.

$$y-11+2y=-8$$

მიუმატეთ y 2y-ს.

$$3y-11=-8$$

მიუმატეთ 11 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{-1+11}{2}$$

მიუმატეთ \frac{11}{2} -\frac{1}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+2y=22,-2x+2y=-8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&2\\-2&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{4\times 2-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-2\left(-2\right)}&\frac{4}{4\times 2-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 22-\frac{1}{6}\left(-8\right)\\\frac{1}{6}\times 22+\frac{1}{3}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=5,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+2y=22,-2x+2y=-8$$

გამოაკელით -2x+2y=-8 4x+2y=22-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4x+2x+2y-2y=22+8$$

მიუმატეთ 2y -2y-ს. პირობები 2y და -2y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4x+2x=22+8$$

მიუმატეთ 4x 2x-ს.

$$6x=22+8$$

მიუმატეთ 22 8-ს.

$$6x=30$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით x აქ: -2x+2y=-8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-2\times 5+2y=-8$$

გაამრავლეთ -2-ზე 5.

$$-10+2y=-8$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=2$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=1$$