გადაწყვიტეთ {c}{3.90x+y=359.70}{-1.80x-y=-131}

$$\left. \begin{array} { c } { 3.90 x + y = 359.70 } \\ { - 1.80 x - y = - 131 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{2287}{21} = 108\frac{19}{21} \approx 108.904761905$$

$$y = -\frac{2276}{35} = -65\frac{1}{35} \approx -65.028571429$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3.9x+y=359.7$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3.9x=-y+359.7$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 3.9-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{10}{39}\left(-y+359.7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{10}{39}-ზე -y+359.7.

$$x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13}-ით x მეორე განტოლებაში, -1.8x-y=-131.

$$-1.8\left(-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}\right)-y=-131$$

გაამრავლეთ -1.8-ზე -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13}.

$$\frac{6}{13}y-\frac{10791}{65}-y=-131$$

მიუმატეთ \frac{6y}{13} -y-ს.

$$-\frac{7}{13}y-\frac{10791}{65}=-131$$

მიუმატეთ \frac{10791}{65} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{7}{13}y=\frac{2276}{65}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{7}{13}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2276}{35}-ით y აქ: x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{10}{39}\left(-\frac{2276}{35}\right)+\frac{1199}{13}$$

გაამრავლეთ -\frac{10}{39}-ზე -\frac{2276}{35} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{4552}{273}+\frac{1199}{13}$$

მიუმატეთ \frac{1199}{13} \frac{4552}{273}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{2287}{21}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\\-\frac{-1.8}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&\frac{3.9}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}&\frac{10}{21}\\-\frac{6}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\times 359.7+\frac{10}{21}\left(-131\right)\\-\frac{6}{7}\times 359.7-\frac{13}{7}\left(-131\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2287}{21}\\-\frac{2276}{35}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

იმისათვის, რომ \frac{39x}{10} და -\frac{9x}{5} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1.8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3.9-ზე.

$$-1.8\times 3.9x-1.8y=-1.8\times 359.7,3.9\left(-1.8\right)x+3.9\left(-1\right)y=3.9\left(-131\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-7.02x-1.8y=-647.46,-7.02x-3.9y=-510.9$$

გამოაკელით -7.02x-3.9y=-510.9 -7.02x-1.8y=-647.46-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-7.02x+7.02x-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

მიუმატეთ -\frac{351x}{50} \frac{351x}{50}-ს. პირობები -\frac{351x}{50} და \frac{351x}{50} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

მიუმატეთ -\frac{9y}{5} \frac{39y}{10}-ს.

$$2.1y=-647.46+510.9$$

მიუმატეთ -647.46 510.9-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$2.1y=-136.56$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 2.1-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2276}{35}-ით y აქ: -1.8x-y=-131. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-1.8x-\left(-\frac{2276}{35}\right)=-131$$

გამოაკელით \frac{2276}{35} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-1.8x=-\frac{6861}{35}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -1.8-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{2287}{21}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$