გადაწყვიტეთ {c}{3x+y=5}{-2x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 5 } \\ { - 2 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+y=5$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+5}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -2x+2y=7.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y=7$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{-y+5}{3}.

$$\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}+2y=7$$

მიუმატეთ \frac{2y}{3} 2y-ს.

$$\frac{8}{3}y-\frac{10}{3}=7$$

მიუმატეთ \frac{10}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{8}{3}y=\frac{31}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{8}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{31}{8}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{31}{8}-ით y აქ: x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{31}{8}+\frac{5}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე \frac{31}{8} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{31}{24}+\frac{5}{3}$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} -\frac{31}{24}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{3}{8}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{8}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{31}{8}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

იმისათვის, რომ 3x და -2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$-2\times 3x-2y=-2\times 5,3\left(-2\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

გაამარტივეთ.

$$-6x-2y=-10,-6x+6y=21$$

გამოაკელით -6x+6y=21 -6x-2y=-10-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-6x+6x-2y-6y=-10-21$$

მიუმატეთ -6x 6x-ს. პირობები -6x და 6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2y-6y=-10-21$$

მიუმატეთ -2y -6y-ს.

$$-8y=-10-21$$

მიუმატეთ -10 -21-ს.

$$-8y=-31$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$y=\frac{31}{8}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{31}{8}-ით y აქ: -2x+2y=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-2x+2\times \frac{31}{8}=7$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{31}{8}.

$$-2x+\frac{31}{4}=7$$

გამოაკელით \frac{31}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=-\frac{3}{4}$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=\frac{3}{8}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$