გადაწყვიტეთ {c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-6$$

$$y=13$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+y+5=0$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x+y=-5$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-y-5$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -y-5.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y-5}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -2x-y+1=0.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{-y-5}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

მიუმატეთ \frac{2y}{3} -y-ს.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

მიუმატეთ \frac{10}{3} 1-ს.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

გამოაკელით \frac{13}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -3-ზე.

$$y=13$$

ჩაანაცვლეთ 13-ით y აქ: x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე 13.

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{3} -\frac{13}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-6,y=13$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-6,y=13$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

იმისათვის, რომ 3x და -2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

გაამარტივეთ.

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

გამოაკელით -6x-3y+3=0 -6x-2y-10=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

მიუმატეთ -6x 6x-ს. პირობები -6x და 6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2y+3y-10-3=0$$

მიუმატეთ -2y 3y-ს.

$$y-10-3=0$$

მიუმატეთ -10 -3-ს.

$$y-13=0$$

მიუმატეთ 13 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=13$$

ჩაანაცვლეთ 13-ით y აქ: -2x-y+1=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-2x-13+1=0$$

მიუმატეთ -13 1-ს.

$$-2x-12=0$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=12$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-6,y=13$$