გადაწყვიტეთ {c}{3x+2y=32}{365x+226y=265.6}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 265.6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{8376}{65} = -128\frac{56}{65} \approx -128.861538462$$

$$y = \frac{13604}{65} = 209\frac{19}{65} \approx 209.292307692$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+2y=32,365x+226y=265.6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+2y=32$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-2y+32$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -2y+32.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2y+32}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 365x+226y=265.6.

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=265.6$$

გაამრავლეთ 365-ზე \frac{-2y+32}{3}.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=265.6$$

მიუმატეთ -\frac{730y}{3} 226y-ს.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=265.6$$

გამოაკელით \frac{11680}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{54416}{15}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{52}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{13604}{65}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{13604}{65}-ით y აქ: x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{13604}{65}+\frac{32}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{3}-ზე \frac{13604}{65} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{27208}{195}+\frac{32}{3}$$

მიუმატეთ \frac{32}{3} -\frac{27208}{195}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{8376}{65}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{8376}{65},y=\frac{13604}{65}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+2y=32,365x+226y=265.6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 265.6\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 265.6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8376}{65}\\\frac{13604}{65}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{8376}{65},y=\frac{13604}{65}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+2y=32,365x+226y=265.6$$

იმისათვის, რომ 3x და 365x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 365-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 265.6$$

გაამარტივეთ.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=796.8$$

გამოაკელით 1095x+678y=796.8 1095x+730y=11680-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-796.8$$

მიუმატეთ 1095x -1095x-ს. პირობები 1095x და -1095x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$730y-678y=11680-796.8$$

მიუმატეთ 730y -678y-ს.

$$52y=11680-796.8$$

მიუმატეთ 11680 -796.8-ს.

$$52y=10883.2$$

ორივე მხარე გაყავით 52-ზე.

$$y=\frac{13604}{65}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{13604}{65}-ით y აქ: 365x+226y=265.6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$365x+226\times \frac{13604}{65}=265.6$$

გაამრავლეთ 226-ზე \frac{13604}{65}.

$$365x+\frac{3074504}{65}=265.6$$

გამოაკელით \frac{3074504}{65} განტოლების ორივე მხარეს.

$$365x=-\frac{611448}{13}$$

ორივე მხარე გაყავით 365-ზე.

$$x=-\frac{8376}{65}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{8376}{65},y=\frac{13604}{65}$$