გადაწყვიტეთ {c}{2x+6y=7}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 6 y = 7 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

$$y=-\frac{1}{8}=-0.125$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+6y=7$$

გამოაკელით 6y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-6y+7$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -6y+7.

$$x=-3y+\frac{7}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -3y+\frac{7}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, x-y=4.

$$-3y+\frac{7}{2}-y=4$$

მიუმატეთ -3y -y-ს.

$$-4y+\frac{7}{2}=4$$

გამოაკელით \frac{7}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4y=\frac{1}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$y=-\frac{1}{8}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{8}-ით y აქ: x=-3y+\frac{7}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-3\left(-\frac{1}{8}\right)+\frac{7}{2}$$

გაამრავლეთ -3-ზე -\frac{1}{8}.

$$x=\frac{3}{8}+\frac{7}{2}$$

მიუმატეთ \frac{7}{2} \frac{3}{8}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{31}{8}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&-\frac{6}{2\left(-1\right)-6}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&\frac{2}{2\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{4}\times 4\\\frac{1}{8}\times 7-\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{8}\\-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

იმისათვის, რომ 2x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$2x+6y=7,2x+2\left(-1\right)y=2\times 4$$

გაამარტივეთ.

$$2x+6y=7,2x-2y=8$$

გამოაკელით 2x-2y=8 2x+6y=7-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x+6y+2y=7-8$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6y+2y=7-8$$

მიუმატეთ 6y 2y-ს.

$$8y=7-8$$

მიუმატეთ 7 -8-ს.

$$8y=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$y=-\frac{1}{8}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{8}-ით y აქ: x-y=4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-\left(-\frac{1}{8}\right)=4$$

გამოაკელით \frac{1}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{31}{8}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$