გადაწყვიტეთ {c}{2m-4=n}{2m-1=3m+n}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 m - 4 = n } \\ { 2 m - 1 = 3 m + n } \end{array} \right.$$

ამოხსნა m, n-ისთვის

$$m=1$$

$$n=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით n ორივე მხარეს.

$$2m-4-n=0$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$2m-n=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3m ორივე მხარეს.

$$2m-1-3m=n$$

დააჯგუფეთ 2m და -3m, რათა მიიღოთ -m.

$$-m-1=n$$

გამოაკელით n ორივე მხარეს.

$$-m-1-n=0$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$-m-n=1$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2m-n=4,-m-n=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი m-ისთვის, m-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2m-n=4$$

მიუმატეთ n განტოლების ორივე მხარეს.

$$2m=n+4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$m=\frac{1}{2}\left(n+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე n+4.

$$m=\frac{1}{2}n+2$$

ჩაანაცვლეთ \frac{n}{2}+2-ით m მეორე განტოლებაში, -m-n=1.

$$-\left(\frac{1}{2}n+2\right)-n=1$$

გაამრავლეთ -1-ზე \frac{n}{2}+2.

$$-\frac{1}{2}n-2-n=1$$

მიუმატეთ -\frac{n}{2} -n-ს.

$$-\frac{3}{2}n-2=1$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{3}{2}n=3$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{3}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$n=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით n აქ: m=\frac{1}{2}n+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$m=\frac{1}{2}\left(-2\right)+2$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -2.

$$m=-1+2$$

მიუმატეთ 2 -1-ს.

$$m=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=1,n=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით n ორივე მხარეს.

$$2m-4-n=0$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$2m-n=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3m ორივე მხარეს.

$$2m-1-3m=n$$

დააჯგუფეთ 2m და -3m, რათა მიიღოთ -m.

$$-m-1=n$$

გამოაკელით n ორივე მხარეს.

$$-m-1-n=0$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$-m-n=1$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2m-n=4,-m-n=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - m და n.

$$m=1,n=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით n ორივე მხარეს.

$$2m-4-n=0$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$2m-n=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3m ორივე მხარეს.

$$2m-1-3m=n$$

დააჯგუფეთ 2m და -3m, რათა მიიღოთ -m.

$$-m-1=n$$

გამოაკელით n ორივე მხარეს.

$$-m-1-n=0$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$-m-n=1$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2m-n=4,-m-n=1$$

გამოაკელით -m-n=1 2m-n=4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2m+m-n+n=4-1$$

მიუმატეთ -n n-ს. პირობები -n და n გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2m+m=4-1$$

მიუმატეთ 2m m-ს.

$$3m=4-1$$

მიუმატეთ 4 -1-ს.

$$3m=3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$m=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით m აქ: -m-n=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ n.

$$-1-n=1$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-n=2$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$n=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=1,n=-2$$