გადაწყვიტეთ {c}{10x+14y=460}{x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 x + 14 y = 460 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=25$$

$$y=15$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$10x+14y=460$$

გამოაკელით 14y განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x=-14y+460$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$x=\frac{1}{10}\left(-14y+460\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{10}-ზე -14y+460.

$$x=-\frac{7}{5}y+46$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7y}{5}+46-ით x მეორე განტოლებაში, x+y=40.

$$-\frac{7}{5}y+46+y=40$$

მიუმატეთ -\frac{7y}{5} y-ს.

$$-\frac{2}{5}y+46=40$$

გამოაკელით 46 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{2}{5}y=-6$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{2}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=15$$

ჩაანაცვლეთ 15-ით y აქ: x=-\frac{7}{5}y+46. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{7}{5}\times 15+46$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{5}-ზე 15.

$$x=-21+46$$

მიუმატეთ 46 -21-ს.

$$x=25$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=25,y=15$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-14}&-\frac{14}{10-14}\\-\frac{1}{10-14}&\frac{10}{10-14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 460+\frac{7}{2}\times 40\\\frac{1}{4}\times 460-\frac{5}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=25,y=15$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

იმისათვის, რომ 10x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 10-ზე.

$$10x+14y=460,10x+10y=10\times 40$$

გაამარტივეთ.

$$10x+14y=460,10x+10y=400$$

გამოაკელით 10x+10y=400 10x+14y=460-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$10x-10x+14y-10y=460-400$$

მიუმატეთ 10x -10x-ს. პირობები 10x და -10x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$14y-10y=460-400$$

მიუმატეთ 14y -10y-ს.

$$4y=460-400$$

მიუმატეთ 460 -400-ს.

$$4y=60$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=15$$

ჩაანაცვლეთ 15-ით y აქ: x+y=40. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+15=40$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=25$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=25,y=15$$