გადაწყვიტეთ {c}{10a+b=10}{-a+b=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 a + b = 10 } \\ { - a + b = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=\frac{8}{11}\approx 0.727272727$$

$$b = \frac{30}{11} = 2\frac{8}{11} \approx 2.727272727$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$10a+b=10$$

გამოაკელით b განტოლების ორივე მხარეს.

$$10a=-b+10$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$a=\frac{1}{10}\left(-b+10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{10}-ზე -b+10.

$$a=-\frac{1}{10}b+1$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{b}{10}+1-ით a მეორე განტოლებაში, -a+b=2.

$$-\left(-\frac{1}{10}b+1\right)+b=2$$

გაამრავლეთ -1-ზე -\frac{b}{10}+1.

$$\frac{1}{10}b-1+b=2$$

მიუმატეთ \frac{b}{10} b-ს.

$$\frac{11}{10}b-1=2$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{11}{10}b=3$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{11}{10}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=\frac{30}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{30}{11}-ით b აქ: a=-\frac{1}{10}b+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-\frac{1}{10}\times \frac{30}{11}+1$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{10}-ზე \frac{30}{11} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$a=-\frac{3}{11}+1$$

მიუმატეთ 1 -\frac{3}{11}-ს.

$$a=\frac{8}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-1\right)}&-\frac{1}{10-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{10-\left(-1\right)}&\frac{10}{10-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{10}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{1}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 10+\frac{10}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{11}\\\frac{30}{11}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

გამოაკელით -a+b=2 10a+b=10-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$10a+a+b-b=10-2$$

მიუმატეთ b -b-ს. პირობები b და -b გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$10a+a=10-2$$

მიუმატეთ 10a a-ს.

$$11a=10-2$$

მიუმატეთ 10 -2-ს.

$$11a=8$$

ორივე მხარე გაყავით 11-ზე.

$$a=\frac{8}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8}{11}-ით a აქ: -a+b=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ b.

$$-\frac{8}{11}+b=2$$

მიუმატეთ \frac{8}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$b=\frac{30}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$