გადაწყვიტეთ {c}{-2x_{1}+3x_{2}=5}{ax_{1}-x_{2}=1}

$$\left. \begin{array} { c } { - 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 5 } \\ { a x _ { 1 } - x _ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x_1, x_2-ისთვის

$$x_{1}=\frac{8}{3a-2}$$

$$x_{2}=\frac{5a+2}{3a-2}$$

$$a\neq \frac{2}{3}$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-2x_{1}+3x_{2}=5,ax_{1}-x_{2}=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x_{1}-ისთვის, x_{1}-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-2x_{1}+3x_{2}=5$$

გამოაკელით 3x_{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x_{1}=-3x_{2}+5$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x_{1}=-\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+5\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -3x_{2}+5.

$$x_{1}=\frac{3}{2}x_{2}-\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3x_{2}-5}{2}-ით x_{1} მეორე განტოლებაში, ax_{1}-x_{2}=1.

$$a\left(\frac{3}{2}x_{2}-\frac{5}{2}\right)-x_{2}=1$$

გაამრავლეთ a-ზე \frac{3x_{2}-5}{2}.

$$\frac{3a}{2}x_{2}-\frac{5a}{2}-x_{2}=1$$

მიუმატეთ \frac{3ax_{2}}{2} -x_{2}-ს.

$$\left(\frac{3a}{2}-1\right)x_{2}-\frac{5a}{2}=1$$

მიუმატეთ \frac{5a}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(\frac{3a}{2}-1\right)x_{2}=\frac{5a}{2}+1$$

ორივე მხარე გაყავით \frac{3a}{2}-1-ზე.

$$x_{2}=\frac{5a+2}{3a-2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2+5a}{3a-2}-ით x_{2} აქ: x_{1}=\frac{3}{2}x_{2}-\frac{5}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x_{1}.

$$x_{1}=\frac{3}{2}\times \frac{5a+2}{3a-2}-\frac{5}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე \frac{2+5a}{3a-2}.

$$x_{1}=\frac{3\left(5a+2\right)}{2\left(3a-2\right)}-\frac{5}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{2} \frac{3\left(2+5a\right)}{2\left(3a-2\right)}-ს.

$$x_{1}=\frac{8}{3a-2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x_{1}=\frac{8}{3a-2},x_{2}=\frac{5a+2}{3a-2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-2x_{1}+3x_{2}=5,ax_{1}-x_{2}=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\a&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-2&3\\a&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\a&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\a&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\a&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\a&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\a&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-2\left(-1\right)-3a}&-\frac{3}{-2\left(-1\right)-3a}\\-\frac{a}{-2\left(-1\right)-3a}&-\frac{2}{-2\left(-1\right)-3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2-3a}&-\frac{3}{2-3a}\\-\frac{a}{2-3a}&-\frac{2}{2-3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{1}{2-3a}\right)\times 5-\frac{3}{2-3a}\\\left(-\frac{a}{2-3a}\right)\times 5-\frac{2}{2-3a}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2-3a}\\-\frac{5a+2}{2-3a}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x_{1} და x_{2}.

$$x_{1}=-\frac{8}{2-3a},x_{2}=-\frac{5a+2}{2-3a}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-2x_{1}+3x_{2}=5,ax_{1}-x_{2}=1$$

იმისათვის, რომ -2x_{1} და ax_{1} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს a-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე.

$$a\left(-2\right)x_{1}+a\times 3x_{2}=a\times 5,-2ax_{1}-2\left(-1\right)x_{2}=-2$$

გაამარტივეთ.

$$\left(-2a\right)x_{1}+3ax_{2}=5a,\left(-2a\right)x_{1}+2x_{2}=-2$$

გამოაკელით \left(-2a\right)x_{1}+2x_{2}=-2 \left(-2a\right)x_{1}+3ax_{2}=5a-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\left(-2a\right)x_{1}+2ax_{1}+3ax_{2}-2x_{2}=5a+2$$

მიუმატეთ -2ax_{1} 2ax_{1}-ს. პირობები -2ax_{1} და 2ax_{1} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3ax_{2}-2x_{2}=5a+2$$

მიუმატეთ 3ax_{2} -2x_{2}-ს.

$$\left(3a-2\right)x_{2}=5a+2$$

ორივე მხარე გაყავით 3a-2-ზე.

$$x_{2}=\frac{5a+2}{3a-2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5a+2}{3a-2}-ით x_{2} აქ: ax_{1}-x_{2}=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x_{1}.

$$ax_{1}-\frac{5a+2}{3a-2}=1$$

მიუმატეთ \frac{5a+2}{3a-2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$ax_{1}=\frac{8a}{3a-2}$$

ორივე მხარე გაყავით a-ზე.

$$x_{1}=\frac{8}{3a-2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x_{1}=\frac{8}{3a-2},x_{2}=\frac{5a+2}{3a-2}$$