გადაწყვიტეთ {c}{(1-2/x+1)divx^2-2x+1/x+1=y}{x=sqrt{2}+1}

$$\left. \begin{array} { c } { ( 1 - \frac { 2 } { x + 1 } ) \div \frac { x ^ { 2 } - 2 x + 1 } { x + 1 } = y } \\ { x = \sqrt { 2 } + 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2.414213562$$

$$y=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781$$

ამონახსნის ეტაპები

განიხილეთ პირველი განტოლება. ჩასვით ცვლადების ცნობილი მნიშვნელობები განტოლებაში.

$$\frac{1-\frac{2}{\sqrt{2}+1+1}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

შეკრიბეთ 1 და 1, რათა მიიღოთ 2.

$$\frac{1-\frac{2}{\sqrt{2}+2}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

გაათავისუფლეთ ირაციონალურობებისგან \frac{2}{\sqrt{2}+2} მნიშვნელი მრიცხველისა და მნიშვნელის \sqrt{2}-2-ზე გამრავლებით.

$$\frac{1-\frac{2\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

განვიხილოთ \left(\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{2}-2\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{1-\frac{2\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

აიყვანეთ კვადრატში \sqrt{2}. აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$\frac{1-\frac{2\left(\sqrt{2}-2\right)}{2-4}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

გამოაკელით 4 2-ს -2-ის მისაღებად.

$$\frac{1-\frac{2\left(\sqrt{2}-2\right)}{-2}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

გააბათილეთ -2 და -2.

$$\frac{1-\left(-\left(\sqrt{2}-2\right)\right)}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

-\left(\sqrt{2}-2\right)-ის საპირისპიროა \sqrt{2}-2.

$$\frac{1+\sqrt{2}-2}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

გამოაკელით 2 1-ს -1-ის მისაღებად.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}+1-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

\sqrt{2}-ის კვადრატია 2.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{2+2\sqrt{2}+1-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

შეკრიბეთ 2 და 1, რათა მიიღოთ 3.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{3+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

შეკრიბეთ 3 და 1, რათა მიიღოთ 4.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

შეკრიბეთ 1 და 1, რათა მიიღოთ 2.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+2}}=y$$

გაათავისუფლეთ ირაციონალურობებისგან \frac{4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+2} მნიშვნელი მრიცხველისა და მნიშვნელის \sqrt{2}-2-ზე გამრავლებით.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}}=y$$

განვიხილოთ \left(\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{2}-2\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}}=y$$

აიყვანეთ კვადრატში \sqrt{2}. აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{2-4}}=y$$

გამოაკელით 4 2-ს -2-ის მისაღებად.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{-2}}=y$$

გაყავით -1+\sqrt{2} \frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{-2}-ზე -1+\sqrt{2}-ის გამრავლებით \frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{-2}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$\frac{\left(-1+\sqrt{2}\right)\left(-2\right)}{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -1+\sqrt{2} -2-ზე.

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 \sqrt{2}+1-ზე.

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{\left(4+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

დააჯგუფეთ 2\sqrt{2} და -2\sqrt{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{\left(4-2\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

გამოაკელით 2 4-ს 2-ის მისაღებად.

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{2\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 \sqrt{2}-2-ზე.

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-4}=y$$

გაათავისუფლეთ ირაციონალურობებისგან \frac{2-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-4} მნიშვნელი მრიცხველისა და მნიშვნელის 2\sqrt{2}+4-ზე გამრავლებით.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{\left(2\sqrt{2}-4\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}=y$$

განვიხილოთ \left(2\sqrt{2}-4\right)\left(2\sqrt{2}+4\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-4^{2}}=y$$

დაშალეთ \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-4^{2}}=y$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-4^{2}}=y$$

\sqrt{2}-ის კვადრატია 2.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{4\times 2-4^{2}}=y$$

გადაამრავლეთ 4 და 2, რათა მიიღოთ 8.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{8-4^{2}}=y$$

გამოთვალეთ2-ის 4 ხარისხი და მიიღეთ 16.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{8-16}=y$$

გამოაკელით 16 8-ს -8-ის მისაღებად.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{-8}=y$$

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$y=\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{-8}$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 2-2\sqrt{2} 2\sqrt{2}+4-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$y=\frac{-4\sqrt{2}+8-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{-8}$$

\sqrt{2}-ის კვადრატია 2.

$$y=\frac{-4\sqrt{2}+8-4\times 2}{-8}$$

გადაამრავლეთ -4 და 2, რათა მიიღოთ -8.

$$y=\frac{-4\sqrt{2}+8-8}{-8}$$

გამოაკელით 8 8-ს 0-ის მისაღებად.

$$y=\frac{-4\sqrt{2}}{-8}$$

გაყავით -4\sqrt{2} -8-ზე \frac{1}{2}\sqrt{2}-ის მისაღებად.

$$y=\frac{1}{2}\sqrt{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{2}+1 y=\frac{1}{2}\sqrt{2}$$