გადაწყვიტეთ {c}{1/3+a+b+4=-9}{1+2a+b=5}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 3 } + a + b + 4 = - 9 } \\ { 1 + 2 a + b = 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a = \frac{52}{3} = 17\frac{1}{3} \approx 17.333333333$$

$$b = -\frac{92}{3} = -30\frac{2}{3} \approx -30.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$a+b+\frac{13}{3}=-9,2a+b+1=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$a+b+\frac{13}{3}=-9$$

გამოაკელით \frac{13}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$a+b=-\frac{40}{3}$$

გამოაკელით b განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=-b-\frac{40}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -b-\frac{40}{3}-ით a მეორე განტოლებაში, 2a+b+1=5.

$$2\left(-b-\frac{40}{3}\right)+b+1=5$$

გაამრავლეთ 2-ზე -b-\frac{40}{3}.

$$-2b-\frac{80}{3}+b+1=5$$

მიუმატეთ -2b b-ს.

$$-b-\frac{80}{3}+1=5$$

მიუმატეთ -\frac{80}{3} 1-ს.

$$-b-\frac{77}{3}=5$$

მიუმატეთ \frac{77}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-b=\frac{92}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$b=-\frac{92}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{92}{3}-ით b აქ: a=-b-\frac{40}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-\left(-\frac{92}{3}\right)-\frac{40}{3}$$

გაამრავლეთ -1-ზე -\frac{92}{3}.

$$a=\frac{92-40}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{40}{3} \frac{92}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$a=\frac{52}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{52}{3},b=-\frac{92}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$a+b+\frac{13}{3}=-9,2a+b+1=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-\frac{40}{3}\right)+4\\2\left(-\frac{40}{3}\right)-4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{52}{3}\\-\frac{92}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=\frac{52}{3},b=-\frac{92}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$a+b+\frac{13}{3}=-9,2a+b+1=5$$

გამოაკელით 2a+b+1=5 a+b+\frac{13}{3}=-9-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$a-2a+b-b+\frac{13}{3}-1=-9-5$$

მიუმატეთ b -b-ს. პირობები b და -b გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$a-2a+\frac{13}{3}-1=-9-5$$

მიუმატეთ a -2a-ს.

$$-a+\frac{13}{3}-1=-9-5$$

მიუმატეთ \frac{13}{3} -1-ს.

$$-a+\frac{10}{3}=-9-5$$

მიუმატეთ -9 -5-ს.

$$-a+\frac{10}{3}=-14$$

გამოაკელით \frac{10}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-a=-\frac{52}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$a=\frac{52}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{52}{3}-ით a აქ: 2a+b+1=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ b.

$$2\times \frac{52}{3}+b+1=5$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{52}{3}.

$$\frac{104}{3}+b+1=5$$

მიუმატეთ \frac{104}{3} 1-ს.

$$b+\frac{107}{3}=5$$

გამოაკელით \frac{107}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$b=-\frac{92}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{52}{3},b=-\frac{92}{3}$$