გადაწყვიტეთ {c}{1/2a+b=-2}{a-2b=8}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 } a + b = - 2 } \\ { a - 2 b = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=2$$

$$b=-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$\frac{1}{2}a+b=-2$$

გამოაკელით b განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{2}a=-b-2$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$a=2\left(-b-2\right)$$

გაამრავლეთ 2-ზე -b-2.

$$a=-2b-4$$

ჩაანაცვლეთ -2b-4-ით a მეორე განტოლებაში, a-2b=8.

$$-2b-4-2b=8$$

მიუმატეთ -2b -2b-ს.

$$-4b-4=8$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4b=12$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$b=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით b აქ: a=-2b-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-2\left(-3\right)-4$$

გაამრავლეთ -2-ზე -3.

$$a=6-4$$

მიუმატეთ -4 6-ს.

$$a=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=2,b=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=2,b=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

იმისათვის, რომ \frac{a}{2} და a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{2}-ზე.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}\left(-2\right)b=\frac{1}{2}\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a-b=4$$

გამოაკელით \frac{1}{2}a-b=4 \frac{1}{2}a+b=-2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}a+b+b=-2-4$$

მიუმატეთ \frac{a}{2} -\frac{a}{2}-ს. პირობები \frac{a}{2} და -\frac{a}{2} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$b+b=-2-4$$

მიუმატეთ b b-ს.

$$2b=-2-4$$

მიუმატეთ -2 -4-ს.

$$2b=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$b=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით b აქ: a-2b=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a-2\left(-3\right)=8$$

გაამრავლეთ -2-ზე -3.

$$a+6=8$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=2,b=-3$$