გადაწყვიტეთ {l}{x-2(x+y)=3y-2}{x/3+y/2=3}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x - 2 ( x + y ) = 3 y - 2 }\\{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 3 }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=12$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 x+y-ზე.

$$x-2x-2y=3y-2$$

დააჯგუფეთ x და -2x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x-2y=3y-2$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$-x-2y-3y=-2$$

დააჯგუფეთ -2y და -3y, რათა მიიღოთ -5y.

$$-x-5y=-2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2x+3y=18$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-x-5y=-2$$

მიუმატეთ 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=5y-2$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-\left(5y-2\right)$$

გაამრავლეთ -1-ზე 5y-2.

$$x=-5y+2$$

ჩაანაცვლეთ -5y+2-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+3y=18.

$$2\left(-5y+2\right)+3y=18$$

გაამრავლეთ 2-ზე -5y+2.

$$-10y+4+3y=18$$

მიუმატეთ -10y 3y-ს.

$$-7y+4=18$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7y=14$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=-5y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-5\left(-2\right)+2$$

გაამრავლეთ -5-ზე -2.

$$x=10+2$$

მიუმატეთ 2 10-ს.

$$x=12$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=12,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 x+y-ზე.

$$x-2x-2y=3y-2$$

დააჯგუფეთ x და -2x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x-2y=3y-2$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$-x-2y-3y=-2$$

დააჯგუფეთ -2y და -3y, რათა მიიღოთ -5y.

$$-x-5y=-2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2x+3y=18$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-2\right)+\frac{5}{7}\times 18\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)-\frac{1}{7}\times 18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=12,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 x+y-ზე.

$$x-2x-2y=3y-2$$

დააჯგუფეთ x და -2x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x-2y=3y-2$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$-x-2y-3y=-2$$

დააჯგუფეთ -2y და -3y, რათა მიიღოთ -5y.

$$-x-5y=-2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2x+3y=18$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

იმისათვის, რომ -x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\left(-2\right),-2x-3y=-18$$

გაამარტივეთ.

$$-2x-10y=-4,-2x-3y=-18$$

გამოაკელით -2x-3y=-18 -2x-10y=-4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2x+2x-10y+3y=-4+18$$

მიუმატეთ -2x 2x-ს. პირობები -2x და 2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-10y+3y=-4+18$$

მიუმატეთ -10y 3y-ს.

$$-7y=-4+18$$

მიუმატეთ -4 18-ს.

$$-7y=14$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: 2x+3y=18. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+3\left(-2\right)=18$$

გაამრავლეთ 3-ზე -2.

$$2x-6=18$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=24$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=12$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=12,y=-2$$