გადაწყვიტეთ {l}{x+y=1}{x+t^2y=t}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x + y = 1 }\\{ x + t ^ { 2 } y = t }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{t}{t+1}\text{, }y=\frac{1}{t+1}\text{, }&t\neq -1\\x=1-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&t=1\end{matrix}\right.$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=1$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+1$$

ჩაანაცვლეთ -y+1-ით x მეორე განტოლებაში, x+t^{2}y=t.

$$-y+1+t^{2}y=t$$

მიუმატეთ -y t^{2}y-ს.

$$\left(t^{2}-1\right)y+1=t$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(t^{2}-1\right)y=t-1$$

ორივე მხარე გაყავით -1+t^{2}-ზე.

$$y=\frac{1}{t+1}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{t+1}-ით y აქ: x=-y+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{t+1}+1$$

მიუმატეთ 1 -\frac{1}{t+1}-ს.

$$x=\frac{t}{t+1}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}&-\frac{1}{t^{2}-1}\\-\frac{1}{t^{2}-1}&\frac{1}{t^{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}+\left(-\frac{1}{t^{2}-1}\right)t\\-\frac{1}{t^{2}-1}+\frac{1}{t^{2}-1}t\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t}{t+1}\\\frac{1}{t+1}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

გამოაკელით x+t^{2}y=t x+y=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x-x+y+\left(-t^{2}\right)y=1-t$$

მიუმატეთ x -x-ს. პირობები x და -x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$y+\left(-t^{2}\right)y=1-t$$

მიუმატეთ y -t^{2}y-ს.

$$\left(1-t^{2}\right)y=1-t$$

ორივე მხარე გაყავით 1-t^{2}-ზე.

$$y=\frac{1}{t+1}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{t+1}-ით y აქ: x+t^{2}y=t. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+t^{2}\times \frac{1}{t+1}=t$$

გაამრავლეთ t^{2}-ზე \frac{1}{t+1}.

$$x+\frac{t^{2}}{t+1}=t$$

გამოაკელით \frac{t^{2}}{t+1} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{t}{t+1}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{t}{t+1}\text{, }y=\frac{1}{t+1}\text{, }&t\neq -1\\x=1-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&t=1\end{matrix}\right.$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=1$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+1$$

ჩაანაცვლეთ -y+1-ით x მეორე განტოლებაში, x+t^{2}y=t.

$$-y+1+t^{2}y=t$$

მიუმატეთ -y t^{2}y-ს.

$$\left(t^{2}-1\right)y+1=t$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(t^{2}-1\right)y=t-1$$

ორივე მხარე გაყავით -1+t^{2}-ზე.

$$y=\frac{1}{t+1}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{1+t}-ით y აქ: x=-y+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{t+1}+1$$

მიუმატეთ 1 -\frac{1}{1+t}-ს.

$$x=\frac{t}{t+1}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}&-\frac{1}{t^{2}-1}\\-\frac{1}{t^{2}-1}&\frac{1}{t^{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}+\left(-\frac{1}{t^{2}-1}\right)t\\-\frac{1}{t^{2}-1}+\frac{1}{t^{2}-1}t\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t}{t+1}\\\frac{1}{t+1}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

გამოაკელით x+t^{2}y=t x+y=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x-x+y+\left(-t^{2}\right)y=1-t$$

მიუმატეთ x -x-ს. პირობები x და -x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$y+\left(-t^{2}\right)y=1-t$$

მიუმატეთ y -t^{2}y-ს.

$$\left(1-t^{2}\right)y=1-t$$

ორივე მხარე გაყავით 1-t^{2}-ზე.

$$y=\frac{1}{t+1}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{t+1}-ით y აქ: x+t^{2}y=t. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+t^{2}\times \frac{1}{t+1}=t$$

გაამრავლეთ t^{2}-ზე \frac{1}{t+1}.

$$x+\frac{t^{2}}{t+1}=t$$

გამოაკელით \frac{t^{2}}{t+1} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{t}{t+1}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$